解法：多项式方法解决帽集问题(克罗特–列夫–帕赫,埃伦伯格–海斯维克,2016年)

埃伦伯格与海斯维克(2017年,命题2,推广了克罗特–列夫–帕赫2016年的引理1)固定满足 $\alpha+\beta+\gamma=0$ 的 $\mathbb{F}_q$ 中元素 $\alpha,\beta,\gamma$。若 $P \in S_n^{\le d}$ 对每个 $a \ne b \in A$ 都满足 $P(\alpha a+\beta b)=0$,则 $|\{a \in A : P(-\gamma a) \ne 0\}| \le 2 m_{d/2}$。证明展开 $P(\alpha x+\beta y)$:总次数至多为 $d$ 的每个单项式,其两部分($x$ 部分或 $y$ 部分)之一次数至多为 $d/2$,于是对某些以次数至多 $d/2$ 的单项式 $m$ 为下标的多项式 $F_m, G_m$ 有 $P(\alpha x+\beta y) = \sum_{m \in M_n^{d/2}} m(x)F_m(y) + \sum_{m \in M_n^{d/2}} m(y)G_m(x)$。在 $x=a, y=b \in A$ 处求值,把元素为 $B_{ab} := P(\alpha a+\beta b)$ 的矩阵 $B$ 写成 $2m_{d/2}$ 个秩一矩阵之和,于是 $\operatorname{rank}(B) \le 2m_{d/2}$。