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解法：米哈伊列斯库利用分圆域给出的卡塔兰猜想证明(2002年)

第 1/7 步：1844年卡塔兰猜想及其向两个奇素数的归约
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通俗地说

整数的幂通常彼此相距很远——8=238=2^3 与 9=329=3^2 是相邻的,但这看起来像是个幸运的巧合。1844年,比利时数学家欧仁·卡塔兰致信一家期刊,猜想 88 与 99 是唯一一对相邻的完全幂,也就是说 xu−yv=1x^u-y^v=1 在 x,y,u,vx,y,u,v 都大于 11 的情形下没有其他解。

在正面攻克整个猜想之前,两个经典结果先缩小了目标:维克多-阿梅代·勒贝格于1850年证明指数 22 永远不能作为 vv 出现(方程 xu−y2=1x^u-y^2=1 在 u>1u>1 时无解),柯召于1965年证明 u=2u=2 只能导出平凡解。两者结合,把卡塔兰猜想归约为一个关于奇素数指数更尖锐的单一命题。

xu−yv=1,x,y>0, u,v>1   ⟹   32−23=1x^u - y^v = 1,\quad x,y>0,\ u,v>1\ \implies\ 3^2-2^3=1
详细分析

卡塔兰猜想,正如他1844年发表在克雷尔杂志上的信中所述,断言方程 xu−yv=1x^u-y^v=1 在整数 x,y>0x,y>0、u,v>1u,v>1 范围内恰有一个解,即 32−23=13^2-2^3=1(比卢2004年,第1节,引自卡塔兰1844年)。158年间这一猜想一直悬而未决,尽管已有部分结果(勒贝格1850年针对 v=2v=2;柯召1965年针对 u=2u=2)。

结合勒贝格与柯召的定理,把整个猜想归约为:当 p,qp,q 是奇素数时,方程 xp−yq=1x^p-y^q=1 在非零整数 x,yx,y 中无解(比卢2004年,第1节,猜想1.2)。由于此时方程在一种有用的意义下具有对称性——若 (x,y,p,q)(x,y,p,q) 是解,则 (−y,−x,q,p)(-y,-x,q,p) 也是解——这个归约后的命题正是米哈伊列斯库证明的真正目标,如今被称为卡塔兰方程。

接下来的步骤将追溯米哈伊列斯库2002/2004年的论证(发表于克雷尔杂志,并由比卢在布尔巴基讨论班上综述,Astérisque 294,2004年),解释为何对奇素数 p,qp,q,xp−yq=1x^p-y^q=1 不可能成立。

本步骤中的术语
卡塔兰方程
非零整数 x,yx,y 与奇素数 p,qp,q 满足的方程 xp−yq=1x^p-y^q=1——在指数为 22 的情形被单独处理之后,卡塔兰原始猜想归约成的这个更尖锐、对称的形式。