解法：米哈伊列斯库利用分圆域给出的卡塔兰猜想证明(2002年)

贝克的理论(始于20世纪60年代)对由代数数 $\alpha_i$ 与整数系数 $b_i$ 构成的非零“对数型” $\Lambda=b_1\log\alpha_1+\cdots+b_n\log\alpha_n$ 的 $|\Lambda|$ 给出了显式下界——这些界强大到足以超越仅由 $\Lambda\ne0$ 得到的平凡估计(比卢2004年,第4.1节)。泰德曼(1976年)的洞见在于,将其应用于由卡塔兰方程本身构造的对数型,例如 $\Lambda=q\log|y+1|-p\log|x|$,并用卡塞尔斯的关系式控制其中涉及的辅助量(比卢2004年,第4.2–4.3节)。

把所得下界与直接由方程导出的平凡上界相比较,便迫使 $p$ 与 $q$ 之间满足一个不等式(大致为 $p\ll q\log q\log p$,对称地 $q\ll (\log p)^2\log q$),两者结合便给出两个指数的一个绝对的、有效的上界——从而再次通过卡塞尔斯,也给出 $x,y$ 的上界(比卢2004年,第4.2节,式15–17)。朗之万(1977年)、以及后来的奥尼尔与米尼奥特所做的显式数值计算,多年间把这个界压缩到了像 $p\le 7.8\times10^{16}$ 这样具体的数字。

这是一个真正的里程碑——卡塔兰问题原则上已经“可判定”——但泰德曼的界本身太大,无法用计算机直接验证。真正完成证明的突破需要一个更尖锐的、纯代数的想法,这正是米哈伊列斯库在下一步中的贡献。