解法：米哈伊列斯库利用分圆域给出的卡塔兰猜想证明(2002年)

因克里的判据(20世纪90年代)把卡塔兰方程的可解性与一个和 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ 相关的辅助域 $K_p$ 的类数联系起来——原则上很强大,但计算类数代价极高,限制了它在数值上能推进多远(比卢2004年,第3节,定理3.1)。米哈伊列斯库的第一篇论文(1999年)证明了一个更强的、“无需类数”的判据:对卡塔兰方程的任何解,都有 $q^2\mid x$ 且 $p^{q-1}\equiv1\pmod{q^2}$——后者现在被称为维费里希关系式(比卢2004年,第3节,定理3.2)。

这个证明(比卢2004年,第3.1节)是在分圆域 $K=\mathbb{Q}(\zeta_p)$ 内部完成的:利用斯蒂克贝格理想 $I$(群环 $\mathbb{Z}[G]$,$G=\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$,中的一个特定理想,经典的斯蒂克贝格定理表明它零化 $K$ 的类群),米哈伊列斯库证明对适当的 $\theta\in(1-\sigma)I$(其中 $\sigma$ 是复共轭),代数数 $(x-\zeta)^\theta$ 恰好是一个 $q$ 次幂乘以一个单位根。仔细地对这个等式模 $q^2$ 进行整理,便同时迫使 $q^2\mid x$ 与同余式 $p^{q-1}\equiv1\pmod{q^2}$ 成立。

由卡塔兰方程的对称性,镜像命题 $q^{p-1}\equiv1\pmod{p^2}$ 同样成立;同时满足两者的一对 $(p,q)$ 被称为双重维费里希对。正是这个纯粹数论的、计算代价低廉的判据,让米尼奥特与罗伊得以用计算机验证任何解都需要 $\min\{p,q\}>10^7$(比卢2004年,第4.4节)——但解的指数终究还需要以某种方式被彻底排除,这是剩下的任务。