解法：米哈伊列斯库利用分圆域给出的卡塔兰猜想证明(2002年)

米哈伊列斯库的证明需要一个技术性的前提条件,在后面会反复用到,那就是:对卡塔兰方程的任何解都有 $p\not\equiv1\pmod q$(比卢2004年,第4节,定理4.1)。反过来假设 $p\equiv1\pmod q$,第4步中的维费里希关系式会将其加强为 $p\equiv1\pmod{q^2}$;由于 $p$ 是奇数,这排除了 $p=q^2+1$ 与 $p=3q^2+1$,而 $p=2q^2+1$ 也被排除,因为此时它能被 $3$ 整除(这是米尼奥特的一个观察),从而剩下 $p>4q^2+1$(比卢2004年,第4.5节)。

另一方面,对泰德曼不等式的一个显式加强(利用关于二元对数型更精细的 Laurent–Mignotte–Nesterenko 界)表明,只要 $q>28000$ 就有 $p\le 4q^2$(比卢2004年,第4.5节,命题4.5.1)——这与 $p>4q^2+1$ 直接矛盾。这样一来,只剩下有限多个 $q\le 28000$ 需要检验,米哈伊列斯库通过一次简短的计算机验证完成了这一点(比卢2004年,注记4.2,描述了一个运行约一分钟的 PARI 脚本)。

有了 $p\not\equiv1\pmod q$(以及由同样论证对称得到的 $q\not\equiv1\pmod p$)这个牢固确立的事实,舞台已经搭好,可以对所有剩下的双重维费里希对进行最后的、纯代数的消去了。