解法：米哈伊列斯库利用分圆域给出的卡塔兰猜想证明(2002年)

赛恩定理(1988年)确定了一个显式的零化子:由与之前相同的斯蒂克贝格型组合构造出的元素,不仅能零化类群(如经典斯蒂克贝格定理所言),还能零化一个相关的、更精细的模,该模由分圆单位群模去实子域 $\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$ 中真正的单位构造而成(比卢2004年,第5节,引自赛恩《关于实阿贝尔数域的理想类群》)。这严格强于斯蒂克贝格定理,也是此前对卡塔兰方程的任何攻击都未能利用的缺失部分。

米哈伊列斯库的核心技术成就(比卢2004年,第6节,把定理1.3归约为论文最后几节中证明的三个进一步的技术性命题)在于:从一个假想的解 $(x,y,p,q)$ 出发,构造出一个由分圆单位构成的具体 $\mathbb{Z}[G]$-模 $M$,并——利用第4步的双重维费里希关系式以及第5步的 $p\not\equiv1\pmod q$——证明 $M$ 的零化子必须包含比赛恩定理对这种特定形状的非零模所允许的更多群环元素。避免矛盾的唯一方式是 $M$ 就是零模,而这会迫使 $x=\pm1$ 或等价的退化情形——这对于 $x,y,p,q$ 全都非平凡的真实解来说是不可能的。

概括地说,这就是为什么没有任何双重维费里希对 $(p,q)$(从而根本没有任何指数对)能支撑 $x^p-y^q=1$ 的解:由斯蒂克贝格定理与赛恩定理所控制的分圆单位的数论结构,简直太僵硬了,容不下这样的解。米哈伊列斯库于2002年宣布了这一结果,并于2004年在克雷尔杂志上发表了完整的论证。