解法：米哈伊列斯库利用分圆域给出的卡塔兰猜想证明(2002年)

卡塞尔斯(1960年)证明了 $q\mid x$ 且 $p\mid y$,并且进一步给出了精确的分解式:存在某个非零整数 $a$ 与正整数 $v$,使得 $x-1=p^{q-1}a^q$、$y=pav$;以及对称地存在非零整数 $b$ 与正整数 $u$,使得 $y+1=q^{p-1}b^p$、$x=qub$(比卢2004年,第2节,命题2.1)。在域 $K=\mathbb{Q}(\zeta)$ 中取 $\zeta$ 为本原 $p$ 次单位根,做一个简短的计算便可看出,代数数 $\eta=(x-\zeta)/(1-\zeta)$ 是一个代数整数,其主理想是 $K$ 中某个理想的 $q$ 次幂(比卢2004年,第2节,推论2.2)——这是第一个提示:分圆域数论,而非初等数论,才是正确的工具。

这些关系式已经给出了显式但较弱的下界:立即可得 $|x|>p^{q-1}-1$ 与 $|y|>q^{p-1}-1$,而海尔(Hyyrö,1964年)的一个改进将其大幅收紧(比卢2004年,第2节)。因此,卡塔兰方程任何假想的解都必然涉及天文数字般巨大的数,除非 $p,q$ 本身就很大——这指向了先界定、最终排除所有可能的对 $(p,q)$ 的策略。

接下来的步骤将大幅细化这一图景:先是通过超越数论(泰德曼)给出有效界,再通过米哈伊列斯库本人发现的一个精细得多的数论判据。