解法：陶哲轩利用对数平均相关性给出的埃尔德什差异问题证明(2015年)

遵循Polymath5项目(在陶的论文第2节中被重现),一个傅里叶分析加紧致性的论证,把向量值形式的埃尔德什差异命题转化为一个等价的关于随机完全积性函数的命题:一个随机完全积性函数 $\mathbf{g}:\mathbb{N}\to S^1$ 是一个随机变量,通过独立随机化其在每个素数处的取值来定义,使得几乎必然地 $\mathbf{g}(nm)=\mathbf{g}(n)\mathbf{g}(m)$。陶的论文中的定理1.8指出:原始猜想成立当且仅当对每一个这样的 $\mathbf{g}$ 都有 $\sup_n \mathbb{E}\left|\sum_{j=1}^n \mathbf{g}(j)\right|^2 = \infty$。

关键的技术步骤(在第2节中用傅里叶系数与紧致性/普罗霍罗夫论证明确展开)是:对任何假想的、差异有界 $\le C$ 的反例 $f$,利用中国剩余定理与 $(\mathbb{Z}/M\mathbb{Z})^r$ 上的傅里叶对偶性,构造一个在范围 $n\le X$ 上逼近 $f$ 的显式随机完全积性函数 $\mathbf{g}_X$,再取 $X\to\infty$ 时的弱极限;这就把「对某个实数列反证该定理」归约为更干净、纯粹概率论的问题:「对某个随机完全积性函数反证该定理」。

正是这一归约,使证明的其余部分能够引入乘法数论中的强大工具——这些工具正是为研究这类随机或确定性的完全积性函数而设计的——而这些工具无法直接应用于任意一个取值 $\{-1,+1\}$ 的序列。