解法：陶哲轩利用对数平均相关性给出的埃尔德什差异问题证明(2015年)

根据上一步的等价性,只需从「存在一个随机完全积性函数 $\mathbf{g}:\mathbb{N}\to S^1$ 与常数 $C$,使得对所有 $n$ 都有 $\mathbb{E}\left|\sum_{j=1}^n \mathbf{g}(j)\right|^2 \le C$」这一假设中导出矛盾即可。这正是目标命题 $\sup_n\mathbb{E}|\cdots|^2=\infty$ 的否定,因此只要证明它不可能成立,定理就完成了。

一个简短的平均化论证(范德科普特不等式的一种形式,即陶论文中的命题1.11)把这个单一尺度的界升级为在所有二进制范围内都成立的界:$\mathbb{E}\frac1H\sum_{H<H'\le 2H}\left|\sum_{m=1}^{H'}\mathbf{g}(n+m)\right|^2 \ll 1$,且关于 $n$ 一致成立。假设的这种平均化、平移形式,正是使得下一步能够引入积性函数相关性估计的关键,因为那些估计正是以这种平移、平均的语言自然表述的。

后续论证的整体形态是:这个有界性假设(通过对数平均的埃利奥特猜想)迫使 $\mathbf{g}$ 具有非常特定、刚性的结构;然后通过一个显式构造证明,这种刚性结构恰恰与有界性假设本身不相容——由此产生矛盾。