解法：陶哲轩利用对数平均相关性给出的埃尔德什差异问题证明(2015年)

陶的姊妹论文《二点相关性的对数平均Chowla与埃利奥特猜想》(arXiv:1509.05422,Forum of Mathematics, Pi,2016年)用他称之为熵减量论证的方法证明了定理1.10。不同于会遭遇奇偶性障碍的经典圆法或筛法操作,这一论证处理的是由积性函数 $g_1$ 限制在许多相距甚远的不同尺度周围的短区间上的取值所构造出的离散随机变量的香农熵 $H(X)$。

其技术核心在于:如果 $g_1$ 未能恰当地相关,就可以(利用小素数处的积性以及关于短区间上积性函数的 Matomäki–Radziwiłł 定理)证明这些度量熵的随机变量中,有一些必须比同类典型随机变量彼此包含明显更多的信息(即彼此更不独立)。由于香农熵下方有界于 $0$,并且在经过一长串尺度时只能有限、可控地下降(每次下降都有定量的界),如果 $g_1$ 确实是非假装的,那么在众多尺度的每一个上都要求这种信息量,就会产生彻底的矛盾。

这一论证虽然没有给出明确的收敛速率,并且被陶本人形容为对一个曾抵抗经典方法的问题「有效得不合情理」,但它很快就被公认为解析数论中一个重要的新工具;它不仅直接促成了埃尔德什差异问题的这一解决,也促成了陶及其他学者随后关于高阶相关性的对数平均Chowla猜想与Sarnak猜想的研究。