通俗地说 把对数平均相关性估计应用到 g \mathbf{g} g g \mathbf{g} g q \mathbf{q} q C C C t \mathbf{t} t g \mathbf{g} g χ \boldsymbol{\chi} χ n ↦ χ ( n ) n i t n\mapsto\boldsymbol{\chi}(n)n^{i\mathbf{t}} n ↦ χ ( n ) n i t
这是一个异常强的结论:一个最初只是关于平均值有界的模糊假设,最终被提炼成「这个随机函数,一旦揭去伪装,其实就是第二步中那些非常具体的险些成功的反例函数之一」。
把第4步中平移后的二阶矩界与定理1.10(第5–6步)结合起来,陶在他论文的第4节(《推广的 Borwein–Choi–Coons 分析》)中证明:以概率 1 − O ( ε ) 1-O(\varepsilon) 1 − O ( ε ) q = O ε ( 1 ) \mathbf{q}=O_\varepsilon(1) q = O ε ( 1 ) χ \boldsymbol{\chi} χ t = O C , ε ( X ) \mathbf{t}=O_{C,\varepsilon}(X) t = O C , ε ( X ) ∑ p ≤ X 1 − Re g ( p ) χ ( p ) ‾ p − i t p ≪ ε 1 \sum_{p\le X}\frac{1-\operatorname{Re}\,\mathbf{g}(p)\overline{\boldsymbol{\chi}(p)}p^{-i\mathbf{t}}}{p}\ll_\varepsilon 1 ∑ p ≤ X p 1 − Re g ( p ) χ ( p ) p − i t ≪ ε 1 g \mathbf{g} g χ ( n ) n i t \boldsymbol{\chi}(n)n^{i\mathbf{t}} χ ( n ) n i t L L L t \mathbf{t} t t \mathbf{t} t t = O C , ε ( X ) \mathbf{t}=O_{C,\varepsilon}(X) t = O C , ε ( X )
把 g ( n ) = χ ~ ( n ) n i t h ( n ) \mathbf{g}(n) = \tilde{\boldsymbol{\chi}}(n) n^{i\mathbf{t}} \mathbf{h}(n) g ( n ) = χ ~ ( n ) n i t h ( n ) χ ~ \tilde{\boldsymbol{\chi}} χ ~ q \mathbf{q} q χ \boldsymbol{\chi} χ ∣ ∑ p ≤ X 1 − Re h ( p ) p ∣ ≪ ε 1 \left|\sum_{p\le X}\frac{1-\operatorname{Re}\,\mathbf{h}(p)}{p}\right|\ll_\varepsilon 1 ∑ p ≤ X p 1 − Re h ( p ) ≪ ε 1 h \mathbf{h} h 1 1 1
剩下的工作是说明:一个真正取值于 { − 1 , + 1 } \{-1,+1\} { − 1 , + 1 }