解法：陶哲轩利用对数平均相关性给出的埃尔德什差异问题证明(2015年)

埃利奥特猜想在其经典形式中预测:对两个有界积性函数 $g_1,g_2:\mathbb{N}\to\{z\in\mathbb{C}:|z|\le1\}$,相关性 $\frac1x\sum_{n\le x}g_1(n)g_2(n+1)$ 当 $x\to\infty$ 时趋于 $0$,除非 $g_1,g_2$ 中有一个「假装」——在精确的平均意义下接近一个被扭曲的狄利克雷特征 $n\mapsto \chi(n)n^{it}$。这个猜想不加平均的原始版本已知极其困难,被所谓的奇偶性问题所阻碍,而该问题正是阻碍大多数筛法方法处理孪生素数猜想等相关问题的原因。

陶的关键输入——差异问题论文中的定理1.10(在另一篇独立的姊妹论文《二点相关性的对数平均Chowla与埃利奥特猜想》arXiv:1509.05422 中证明,2016年发表于Forum of Mathematics, Pi)——建立了这一命题恰好的对数平均版本:只要 $g_1$ 在适当的定量意义下是非假装的,就有 $\frac{1}{\log x}\sum_{n\le x}\frac{g_1(n)g_2(n+1)}{n} \to 0$(当 $x\to\infty$)。用额外权重 $1/n$ 取平均,并用 $\log x$(而非 $x$)来归一化,恰好能绕开奇偶性问题,代价是只能证明较弱的对数平均命题。

把这个定理应用到上一步的界(取 $g_1=g_2=\mathbf{g}$,把 $\mathbf{g}(n)$ 与 $\mathbf{g}(n+1)$ 相关联)可以说明:$\mathbf{g}$ 部分和有界这一假设,只有在 $\mathbf{g}$ 本身是假装的——即与某个 $n\mapsto\chi(n)n^{it}$ 强相关——时才可能成立。这是整个论证的枢纽:一个关于二阶矩的分析性假设,被转化成了一个关于 $\mathbf{g}$ 结构的刚性代数/算术命题。