解法：Dehn不变量:四面体与立方体不是剪拼全等的(1900年)

Dehn在1900年的工作只确立了“仅当”这一方向:剪拼全等的多面体体积相等,且 $\operatorname{Dehn}$ 不变量也相等。让-皮埃尔·西德勒于1965年证明了其逆命题(发表于《瑞士数学评论》):任意两个多面体 $P, Q \subset \mathbb{R}^3$,只要 $\operatorname{vol}(P) = \operatorname{vol}(Q)$ 且 $\operatorname{Dehn}(P) = \operatorname{Dehn}(Q)$,它们实际上就是剪拼全等的。Dehn不变量与体积合在一起,构成了三维剪拼全等的一个完全不变量——这正是华莱士–波尔约–格尔文定理中面积单独就能对多边形分类这一事实在三维中的精确类比,只是多需要一个数。

西德勒的证明是一个高度技术性的存在性论证,与波尔约–格尔文的构造不同,它并没有给出明确的切割步骤;后续工作(1968年Børge Jessen把该框架推广到四维,以及Dupont、Sah等人后来通过代数K理论与群同调所作的重新诠释)重新推导并推广了西德勒定理,把希尔伯特第三问题与远比Dehn最初的初等构造更高深的现代代数领域联系了起来。