解法：马库斯–斯皮尔曼–斯里瓦斯塔瓦利用交错族给出的证明(2013年)

Kadison 与 Singer 在1959年提出的问题是关于态的：$B(\ell^2)$ 内对角代数 $D \cong \ell^\infty$ 上的纯态由 $\mathbb{N}$ 上的一个超滤子决定，问题是它经 Hahn–Banach 扩张为整个 $B(\ell^2)$ 上的纯态是否必然唯一。Weaver 的 $KS_2$ 中的假设 $\sum_i v_i v_i^* = I_d$ 是恒等算子的紧标架分解在有限维下的影子，而 $\|v_i\|^2 \le \delta$ 是替代"对角部分是弥漫的"的小性条件：没有任何单个向量承担 $I_d$ 的宏观份额。

Weaver 在2004年的定理（Discrete Mathematics 278）把这个算子代数问题归约为可数一族有限维 paving 命题，其中 $KS_2$ 是最强的形式：把指标集分成 $S_1, S_2$，使两个算子范数 $\|\sum_{i \in S_j} v_i v_i^*\|$ 都严格小于 $1$。常数的重要性是定量的而非仅定性的——最终证明给出的界是 $(1+\sqrt{2\delta})^2/2$，而它 $< 1$ 正是因为 $\|v_i\|^2 \le \delta$ 允许在需要时（先细分标架）令 $\delta \to 0$。

证明的其余部分再也不涉及 $\ell^2$ 或 $B(\ell^2)$。每一步只对有限个向量 $v_i$ 与秩一矩阵 $v_i v_i^*$ 进行操作：这就是为什么一个源于 $C^*$-代数理论的问题可以用多项式方法的论证来彻底解决。