解法：佩雷尔曼的带手术里奇流(2002–2003年),概要版

第 2/9 步：有限时间奇点与局部坍缩障碍

通俗地说

设想一个气球沿着一条窄带被死死捏紧，以至于那里看起来几乎是一维的。对一般初始形状运行里奇流恰恰可能发生这种情况:即使流形其余部分完全平静，某一点的曲率也可能在有限时间内飙升至无穷大。

为了看清这个捏紧点，数学家会在爆炸点发生的瞬间将其放大观察。Hamilton–Ivey 估计保证了在三维中无论放大后的图像是什么样子，它都具有非负曲率——但放大过程也可能悄悄把图像压扁成刀锋般薄的东西，排除这种可能正是多年来阻碍进展的缺失一环。

\partial_t \mathrm{Rm} = \Delta \mathrm{Rm} + Q(\mathrm{Rm}), \qquad \lim_{t\to T^-}\sup_{M^3}|\mathrm{Rm}(\cdot,t)|=\infty

详细分析

对一般初始度量而言,曲率演化方程中的二次反应项 $Q(\mathrm{Rm})$ 可能在 $|\mathrm{Rm}|\to\infty$ 时,使流形某处的 $t\to T^-<\infty$ ,这就是有限时间奇点。

在大曲率点处对度量与时间作抛物型重标度，会产生定义在区间 $(-\infty,0]$ 上的“古解”(ancient solution),而 Hamilton–Ivey 夹逼估计(Ivey; Hamilton [H4])保证在三维下任何这类爆炸极限都具有非负截面曲率。

然而，Hamilton 的紧性定理只有在重标度基点处的单射半径有正下界时才能提取出光滑的爆炸极限——排除这种“局部坍缩”正是使 Hamilton 纲领受阻的最大障碍，也是 Perelman 在接下来几步中要解决的问题。

本步骤中的术语

古解(ancient solution): 在时间 $t\in(-\infty,0]$ 上都有定义的里奇流解,是奇点附近重标度的极限;它捕捉了流形被捏紧前一刻的局部几何。
单射半径: 大致而言,是使该点周围测地球不与自身重叠的最大半径;当它相对于曲率尺度缩小为零时,称该几何发生“坍缩”。

本步骤用到的知识