解法：佩雷尔曼的带手术里奇流(2002–2003年),概要版

第 7/9 步：穿过颈部夹断的带手术里奇流

通俗地说

就像在细腰的沙漏形气球腰部剪开、并在两个切口端各粘上一个圆帽一样,Perelman 的手术沿着奇点即将夹断的细颈切开流形,用两个光滑的帽子替换它,然后重新启动流。

由于典范邻域定理保证了正在夹紧的区域确实呈现颈的形状,这一手术就能以足够精确的方式进行,使之前的一切控制——曲率夹逼、无局部坍缩——都能挺过这次操作并在之后被重新利用。

S^2\times[-\epsilon^{-1},\epsilon^{-1}]\ \longrightarrow\ B^3\sqcup B^3\qquad(M\ \leadsto\ M_1\,\#\,M_2)

\epsilon

-颈的二维曲面类比:连接两个较宽区域的细筒状腰部,手术沿截面球面切开并在两端封帽

详细分析

在第二篇预印本(arXiv:math/0303109)中,佩雷尔曼构造了带手术的里奇流:在奇异时刻 $T$ ,完全被高曲率典范邻域覆盖的连通分支被舍去(其拓扑已由上一步的分类得知);而终止于奇异颈部的每个剩余“喇叭管”,则沿一个小的截面球面 $S^2$ 切开,粘上光滑的正曲率球体 $B^3$ ,然后重新启动流。

将手术阈值 $\delta(t)$ 选得足够小,可以在每次手术前后保持曲率夹逼、 $\kappa$ -非坍缩性以及典范邻域界;并且由于每次手术至少切除固定体积( $\sim h^3$ ),在任何有限时间区间内只能发生有限多次手术。

由于手术受控且数量有限,流可以一直延续到任何指定时刻——或者直到流形完全消失为止——这为下一步的有限消灭论证打下基础。

本步骤中的术语

颈部夹断( $\epsilon$ -颈): 呈细圆柱 $S^2\times I$ 形状的区域,随着其截面半径缩小到零,即将把流形分成两块。
手术: 沿小球面切开流形并粘上光滑帽子的拓扑操作,用于去除正在发展的奇点,同时在其余部分继续流。

本步骤用到的知识

光滑流形庞加莱猜想

常见错误. 沿

2

维球面的拓扑手术会把流形拆成连通和分项

M\cong M_1\,\#\,M_2

,因此必须同时验证手术不会在有限时间内聚积,以及原流形

M

的拓扑可由被舍去的部分重构出来。