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解法：佩雷尔曼的带手术里奇流(2002–2003年),概要版

第 4/9 步：Perelman 的 W-熵与单调性公式
上一步下一步
通俗地说

上一步的 F 泛函效果不错,但只要把流形简单地拉伸或缩小,它就会以不受控的方式改变——它不是尺度不变的。借用统计力学的语言,Perelman 构造了一个尺度不变的“熵”W,它依然只会增大。

由于 W 永不减小且尺度不变,对辅助函数取遍所有可能取值后的下确界——称为 mu——就得到一个附着于每个时刻几何、同样永不减小的单一数值。这正是用来阻止流形悄悄变薄成低维形状的工具。

W(gij,f,τ)=∫M[τ(∣∇f∣2+R)+f−n](4πτ)−n/2e−f dV,dWdt=∫M2τ∣Rij+∇i∇jf−12τgij∣2(4πτ)−n/2e−f dV≥0\mathcal{W}(g_{ij},f,\tau)=\int_M\Big[\tau\big(|\nabla f|^2+R\big)+f-n\Big](4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}\,dV,\quad \frac{d\mathcal{W}}{dt}=\int_M 2\tau\Big|R_{ij}+\nabla_i\nabla_j f-\frac{1}{2\tau}g_{ij}\Big|^2(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}\,dV\ge 0
详细分析

将里奇流 ∂tgij=−2Rij\partial_t g_{ij}=-2R_{ij} 与逆时间共轭热方程 ∂tf=−Δf+∣∇f∣2−R+n/(2τ), τt=−1\partial_t f=-\Delta f+|\nabla f|^2-R+n/(2\tau),\ \tau_t=-1(保持 ∫M(4πτ)−n/2e−fdV=1\int_M(4\pi\tau)^{-n/2}e^{-f}dV=1)相耦合,Perelman 定义了尺度不变的 W-熵(§3, arXiv:math/0211159),并证明在任意维数下 dW/dt≥0d\mathcal{W}/dt\ge 0,等号仅在梯度收缩里奇孤立子处成立。

μ(g,τ)=inf⁡fW(g,f,τ)\mu(g,\tau) = \inf_f \mathcal{W}(g,f,\tau) 对一切合法的 ff 取下确界,对每个度量和每个尺度 τ\tau 都给出一个实数,它沿流单调不减(§4),且与辅助函数的具体选择无关。

这个单一的单调量正是下一步用来排除“局部坍缩”的不变量——即曲率仍然有界,但流形看起来正在退化为更低维形状的区域。

本步骤中的术语
熵泛函(W\mathcal{W})
由度量、辅助函数 ff 与尺度参数 τ\tau 构造出的尺度不变量,仿照统计力学中的熵,沿里奇流单调不减。
μ\mu-不变量
在固定尺度 τ\tau 下,W\mathcal{W}-熵对一切容许辅助函数 ff 取下确界;是附着于 (g,τ)(g,\tau) 、继承了 W\mathcal{W} 单调性的一个实数。
本步骤用到的知识
黎曼几何