解法：佩雷尔曼的带手术里奇流(2002–2003年),概要版

第 5/9 步：无局部坍缩定理

通俗地说

设想一张金属片沿着一条窄带被揉得如此紧,以至于那里看起来几乎是一维的,尽管附近的曲率丝毫没有显示危险的迹象。Perelman 的无局部坍缩定理为里奇流排除了这种可能:只要曲率受到控制,体积就不可能悄悄变得刀锋般薄。

证明的做法是把局部化在可疑区域上的试探函数代入 W-熵;如果该区域真的在坍缩,W 就会被迫在那里变得任意负,这与上一步证明的单调性相矛盾。

\sup_{B(p,r)}|\mathrm{Rm}|\le r^{-2},\ r<\sqrt{T}\implies \mathrm{Vol}\,B(p,r)\ge \kappa r^n\qquad(\kappa=\kappa(g(0),T)>0)

详细分析

若每个半径 $r<\rho$ 、其上满足 $|\mathrm{Rm}|\le r^{-2}$ 的测地球 $B(p,r)$ 体积都至少为 $\kappa r^n$ ,则称度量 $g(t)$ 在尺度 $\rho$ 上是 $\kappa$ -非坍缩的。Perelman 的定理(§4, arXiv:math/0211159,并借助约化体积在 §7–8 中进一步加强)表明:给定闭流形 $M^3$ 上的 $g(0)$ 及 $T<\infty$ ,存在 $\kappa=\kappa(g(0),T)>0$ ,使得流在直到时刻 $T$ 的每个尺度 $r<\sqrt T$ 上都是 $\kappa$ -非坍缩的。

概要:若当 $t_k\to T$ 时存在一列这样的球使 $r_k^{-n}\mathrm{Vol}(B_k)\to 0$ ,则将支撑在 $B_k$ 上的截断试探函数代入 $\mathcal{W}$ 会迫使 $\mu(g(t_k),r_k^2)\to-\infty$ ,这与上一步证明的 $\mathcal{W}$ 单调性所给出的 $\mu(g(t_k),r_k^2)\ge\mu(g(0),t_k+r_k^2)$ 矛盾。

这恰好补上了 Hamilton 纲领中缺失的一环:一致的体积下界给出了 Hamilton 紧性定理所需的单射半径控制,因此任何有限时间奇点处的爆炸极限确实会收敛到光滑的古解——这正是下一步要分类的对象。

本步骤中的术语

$\kappa$ -非坍缩: 一种关于体积的定量下界:在尺度 $\rho$ 上,曲率大小不超过 $r^{-2}$ 的每个半径 $r<\rho$ 的球体积至少为 $\kappa r^n$ ;这排除了流形在该尺度上向更低维变薄的可能。

本步骤用到的知识

黎曼几何度量空间