解法：佩雷尔曼的带手术里奇流(2002–2003年),概要版

从 $T_{\mathrm{ext}}$ 出发逆向追溯有限次手术,每个被舍去的高曲率碎片都微分同胚于球面空间形式 $S^3/\Gamma_i$、$S^2\times S^1$ 或 $\mathbb{RP}^3\,\#\,\mathbb{RP}^3$,将沿 $2$ 维球面的手术逆转即把 $M^3$ 重新拼成这些块的连通和。

当 $\pi_1(M^3)=0$ 时,van Kampen 定理迫使每个 $\Gamma_i$ 平凡(否则 $\pi_1$ 将含有一个非平凡子群),并排除了任何 $S^2\times S^1$ 分项(其 $\pi_1$ 无限),只剩下若干 $S^3$ 的连通和。

圆3维球面的连通和微分同胚——从而同胚——于 $S^3$,至此完成了每个单连通闭三维流形都同胚于 $S^3$ 的证明:庞加莱猜想。