解法：佩雷尔曼的带手术里奇流(2002–2003年),概要版

在第三篇预印本(arXiv:math/0307245;Tobias Colding 与 William Minicozzi 独立给出了相关论证)中,佩雷尔曼证明了若闭定向三维流形 $M^3$ 不含非球面素因子——特别地当 $\pi_1(M^3)=0$ 时——带手术的里奇流在有限时间 $T_{\mathrm{ext}}<\infty$ 内消灭,即到那时流形已被奇点与手术彻底消耗殆尽。

证明利用了 $\pi_2(M^3)$ 或 $\pi_3(M^3)$ 的非平凡性(只要 $M^3$ 单连通且尚非球面即可保证)来用一族 $2$ 维球面或极小圆盘扫描 $M^3$;这一扫描的极小极大宽度在流下以受控速率收缩,在手术中不增,且必须在有限时间内降为零。

宽度归零意味着最后剩余的碎片被典范邻域完全覆盖并被手术舍去,因此 $T_{\mathrm{ext}}$ 之后什么也不剩;正是这种有限消灭,使得在最后一步中可以把手术的全部历史倒转回去,从而辨认出原始流形。