解法：苏斯林假设与ZFC的独立性(延森,索洛维–滕鲍姆,1971年)
通俗地说
实数直线 有几个熟悉的序性质:它是稠密的(任意两点之间还有另一点)、完备的(没有空隙)、没有第一个或最后一个点,并且是可分的——有理数 作为一个可数集合坐落其中,能任意接近每一个点。康托证明了这四条性质合在一起,唯一地(在重新命名的意义下)刻画了 。
可分性有一个容易得到的推论:任何两两不相交的开区间族都必须是可数的,因为每个区间都必须包含一个不同的有理数。苏斯林在1920年提出疑问:这个更弱的推论本身——称为可数链条件——能否在康托的刻画中取代可分性,还是可能存在某种神秘的“冒牌”直线,满足它却并没有暗中拥有一个可数稠密子集。
详细分析
全序集 是一个线性连续统,如果它是稠密的、完备的(每个有界集合都有上确界),并且没有最小元或最大元。康托的刻画定理说:如果 是一个同时也是可分的(拥有一个可数稠密子集)线性连续统,那么 与 序同构。
米哈伊尔·苏斯林在1920年一篇身后发表的论文中提出疑问:这个定理中的可分性能否用严格更弱的可数链条件(ccc)—— 中两两不相交的非空开区间族都是可数的——来替代。每个可分线性连续统自动满足ccc(每个区间都必须捕获一个不同的有理数),但苏斯林的问题是反过来的蕴含是否也成立。
一个假想的、满足ccc但不可分——因而不与 序同构——的线性连续统称为苏斯林线,而苏斯林假设()就是断言不存在苏斯林线的命题。为了攻克这个问题,下一步会把它从连续的序翻译成组合上更易处理的树的语言。
- 可分序
- 一个线性有序集合,包含一个能任意接近每一点的可数子集,就像 稠密地坐落在 中一样。
- 可数链条件(ccc)
- 一个序(或更一般地,一个偏序集)满足ccc,是指两两不相交的非空开区间族(或两两不相容的元素族)都是可数的。