解法: 体の拡大によるヴァンツェルの代数的不可能性証明(1837年)

与えられた角 $\theta$ を定規とコンパスで三等分するとは、有限回の正当なユークリッド操作によって $\theta/3$ の角を得ることを意味する。「正当な操作」を検査可能にするため、ヴァンツェルは問題全体を算術的に言い換える。座標では、角の作図はその余弦の作図に等しい(単位円への垂線を下ろすと $\cos\theta$ から $\theta$ が復元され、逆も成り立つ)ので、$\theta$ の三等分は $\cos(\theta/3)$ が作図可能な実数であるときに限り可能である。

$\theta = 60^\circ$ の選択が経済的な反例である。$\cos 60^\circ = 1/2$ は作図可能なので $60^\circ$ 自体は描ける — そしてあとは $20^\circ$、同値的には $x = 2\cos 20^\circ$ が作れないことを示せばよい。作図不能な例が一つあれば普遍的な主張は破れる。主張された普遍的三等分手続きはこの角に対しても機能しなければならないからである。

リウヴィルの雑誌に掲載されたヴァンツェルの1837年の論文は、三つの代数的移動でこの計画を展開する。(1) 定規とコンパスの各段は利用可能な座標の体を高々二次拡大だけ広げるので、作図可能な数は $\mathbb{Q}$ 上で $2$ の冪の次数を持つ(ステップ1–2)。(2) 三倍角の公式は $\cos 20^\circ$ を三次方程式 $x^3 - 3x - 1 = 0$ の根に変える(ステップ3)。(3) その三次式は $\mathbb{Q}$ 上既約であり(ステップ4)、次数 $3$ — $2$ の冪ではない — を与える(ステップ5)。