解法: ゲーデルとコーエン:連続体仮説はZFCから独立である(1963年)

ステップ 1/9: 連続体仮説:

\aleph_0

と

2^{\aleph_0}

の間に厳密な濃度は存在しない

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ざっくり言うと

自然数 $\mathbb{N}$ は最小の無限濃度をなし、 $\aleph_0$ と呼ばれる。カントールの対角線論法(1891年)は、実数 $\mathbb{R}$ がそれより厳密に大きい無限をなし、その濃度は $2^{\aleph_0}$ と書かれることを示す。 $2$ が $1$ と $3$ の間にあるように、その中間の濃度が厳密に存在するのではないかと考えるのは自然である。

カントールは1878年、答えは否であると予想した: $\mathbb{R}$ のすべての無限部分集合は $\mathbb{N}$ と同じ濃度であるか、 $\mathbb{R}$ 自身と同じ濃度であるかのいずれかで、その間には何もない。この主張が連続体仮説( $\mathrm{CH}$ )であり、 $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ と同値に書ける。ここで $\aleph_1$ は $\aleph_0$ のすぐ次の無限濃度を表す。

2^{\aleph_0} = \aleph_1

詳しい解説

カントールは1878年に連続体仮説( $\mathrm{CH}$ )を提唱した: $\mathbb{R}$ のすべての無限部分集合の濃度は $\aleph_0$ (可算)か $2^{\aleph_0}$ (連続体の濃度)のいずれかであり、その間に厳密な濃度は存在しない。カントールの定理から常に $\aleph_1 \le 2^{\aleph_0}$ が成り立つ(ここで $\aleph_1$ は最小の非可算濃度)ので、同値に $\mathrm{CH}$ は $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ ちょうどを主張する。

ヒルベルトは1900年、自身の23の問題の最初の一つとしてこれを挙げ、カントール自身の対角線論法のような通常の数学的証明によって早期にどちらかに決着がつくと期待していた。Peter Koellnerによるスタンフォード哲学百科事典の「連続体仮説」の項目は、この歴史とその後の展開に関する現代的理解をまとめている。

続く60年間に起きたことは、 $\mathrm{CH}$ が通常の手段で証明も反証もできるという期待そのものを覆すものだった:次のステップでは、数学的主張が集合論の認められた公理から証明も反証もできないとは正確には何を意味するのかを説明する。

このステップの用語

濃度(基数): 濃度は集合の大きさを測るもので、二つの集合が同じ濃度を持つのは、それらの間に全単射が存在するとき、かつそのときに限る。 $\aleph_0$ は $\mathbb{N}$ の濃度であり、 $\aleph_1$ は $\aleph_0$ より大きい最小の濃度である。
連続体 $2^{\aleph_0}$: $\mathbb{N}$ のすべての部分集合からなる集合の濃度であり、大きさ $n$ の有限集合の部分集合の個数を $2^n$ と数えることに倣って $2^{\aleph_0}$ と書かれる。実数は無限二進列として符号化できるため、これは $\mathbb{R}$ の濃度に等しい。

このステップで使う知識

ZFC公理系順序数と基数