解法: ゲーデルとコーエン:連続体仮説はZFCから独立である(1963年)

ゲオルク・カントールは、1874年に実数全体の集合 $\mathbb{R}$ が非可算であることを示し、1891年には(対角線論法により)任意の集合 $X$ についてその冪集合 $\mathcal{P}(X)$ が $X$ より真に大きい濃度を持つこと: $|X| < |\mathcal{P}(X)|$ を示して超限集合論の基礎を築いた。これを濃度 $\aleph_0$ を持つ可算な自然数の集合 $\mathbb{N}$ に適用すると $\aleph_0 < |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = |\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$ が得られる。自然数は最小の無限濃度を表し、実数は真に大きな濃度を形成する。

1878年、カントールは連続体仮説 ($\mathrm{CH}$) を定式化した: $\aleph_0$ と $2^{\aleph_0}$ の間に厳密に中間となる濃度は存在しない。$\mathbb{R}$ の任意の無限部分集合は、$\mathbb{N}$ と一対一対応するか(可算)、$\mathbb{R}$ 自身と一対一対応するかのいずれかである。整列可能な濃度の基本階層 $\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \cdots$ において、$\aleph_1$ は定義により最小の非可算基数であるため、カントールの定理は $\aleph_1 \le 2^{\aleph_0}$ を含意する。したがって連続体仮説とは、正確な一致 $2^{\aleph_0} = \aleph_1$ の主張である。

ダフィット・ヒルベルトは1900年のパリでの国際数学者会議において、連続体仮説を有名な23の問題の筆頭に据え、それが通常の数学の手法によって解決されるであろうという完全な確信を表明した。しかしその後の六十年間、$\mathrm{CH}$ を証明または反駁しようとする試みは前例のない壁にぶつかった: この仮説は、数学の標準的公理から証明することも反駁することもできないことが判明したのである。次のステップはそれが何を意味するかを正確に定義する。