解法: スミス=マイヤーズ=カプラン=グッドマン=ストラウスによる非周期単一タイル:ハットとスペクター(2023年)
これらを組み合わせると:一つの純粋に幾何学的な議論(ハットを二つの両立しない周期的な近縁種に結合する)は計算機を必要とせずに周期性を排除し、二つ目の独立した計算機支援の議論(メタタイルがスーパータイルの無限階層へと代入される)は、タイル張りがそもそも存在することを証明すると同時に、それが非周期的でなければならないことを独立に再確認する。二か月後、同じ図形族へのわずかな修正が、鏡像の必要性を完全に取り除くことで最後の抜け穴を塞いだ。
1960年代から未解決だった問い——単一のタイル形状だけで非周期性を強制できるか——は、わずか一年のうちに完全に答えられ、同じ道具箱(図形の連続体、メタタイルの代入、キラリティの工夫)は直ちに、他の非周期単一タイルに関する一連の後続研究の出発点となった。
「アインシュタイン問題」——単一のタイルが非周期単一タイル、すなわち平面をタイル張りするが非周期的にしかタイル張りしないものになり得るか——は、少なくともハオ・ワンの1961年のワンタイルに関する研究、そしてバーガーの 枚のタイル(1966年)からペンローズの有名な 枚組(1974年)、そしてその後見つかった様々な他の 枚組へと非周期タイル集合が次々に縮小されていった歴史にまで遡る。Smith, Myers, Kaplan と Goodman-Strauss(2023年)は、通常の(鏡映を許す)タイル張りについてこの問いに決着をつけた。二つの論理的に独立した経路——古典的な幾何学的矛盾(シェブロンとコメットのタイル張りへの結合、計算機不要)と、計算機支援による階層的代入の議論(メタタイルからスーパータイルへ、これは実際のタイル張りも構成する)——によってハットが非周期的であることを証明したのである。
二か月後、姉妹論文(Smith, Myers, Kaplan & Goodman-Strauss 2024年、arXiv:2305.17743)において、同じチームはスペクターの族を生み出し、より鋭い「キラルなアインシュタイン問題」——回転と平行移動のみを用い、原理的にも鏡映を一切許さずに非周期的にタイル張りする単一の形状——に決着をつけた。同じ 連続体の正三角形状のメンバーの辺を幾何学的に変形させることによってである。
これらの結果は合わせて、1970年代のペンローズの研究以来タイル張り理論において最も重要な進展の一つとして広く認められており、また(四色定理やヘイルズとヴィアゾフスカによる球充填の証明と並んで)少なくとも一つの本質的なステップにおいて証明が真に計算機支援を必要とする重要な幾何学的定理の、最近の際立った例でもある。