解法: 対数平均化された相関によるタオのエルデシュ不一致問題の証明(2015年)

ポリマス5プロジェクトに従い(タオの論文2節で再現される)、フーリエ解析的かつコンパクト性の議論により、ベクトル値のエルデシュ不一致に関する主張が確率的完全乗法的関数に関する同値な主張へと変換される:確率的完全乗法的関数 $\mathbf{g}:\mathbb{N}\to S^1$ とは、各素数における値を独立にランダム化することで定義される確率変数であり、ほとんど確実に $\mathbf{g}(nm)=\mathbf{g}(n)\mathbf{g}(m)$ を満たす。タオの論文の定理1.8は、元の予想が成り立つのは、そのような $\mathbf{g}$ すべてに対して $\sup_n \mathbb{E}\left|\sum_{j=1}^n \mathbf{g}(j)\right|^2 = \infty$ となる場合、かつその場合に限ると述べる。

鍵となる技術的段階(2節でフーリエ係数とコンパクト性・プロホロフの議論を用いて明示的に実行される)は、有界な不一致 $\le C$ を持つ仮想的反例 $f$ について、中国剰余定理と $(\mathbb{Z}/M\mathbb{Z})^r$ 上のフーリエ双対性を用いて範囲 $n\le X$ 上で $f$ を近似する明示的な確率的完全乗法的関数 $\mathbf{g}_X$ を構築し、$X\to\infty$ の弱極限をとる。これにより「ある実数列に対して定理を反証する」ことが、より扱いやすい純粋に確率論的な問い「あるランダム完全乗法的関数に対して定理を反証する」へと帰着される。

この帰着があるからこそ、証明の残りの部分は、まさにこうしたランダムあるいは決定的な完全乗法的関数を研究するために設計された乗法的数論の強力な道具を持ち込むことができる。これは任意の $\{-1,+1\}$ 値数列には直接適用できないものである。