解法: 対数平均化された相関によるタオのエルデシュ不一致問題の証明(2015年)

前段の同値性により、確率的完全乗法的関数 $\mathbf{g}:\mathbb{N}\to S^1$ と定数 $C$ が存在してすべての $n$ について $\mathbb{E}\left|\sum_{j=1}^n \mathbf{g}(j)\right|^2 \le C$ となるという仮定から矛盾を導けば十分である。これは目標とする主張 $\sup_n\mathbb{E}|\cdots|^2=\infty$ の否定であるため、それが不可能であることを証明すれば定理が完成する。

短い平均化の議論(ヴァン・デル・コルプート不等式の一種、タオの論文の命題1.11)は、この単一スケールの評価を、すべての二進範囲で成り立つ評価へと格上げする:$\mathbb{E}\frac1H\sum_{H<H'\le 2H}\left|\sum_{m=1}^{H'}\mathbf{g}(n+m)\right|^2 \ll 1$ が $n$ に関して一様に成り立つ。仮定のこの特定の平均化・シフトされた形こそが、次の段階で乗法的関数に対する相関評価を持ち込むことを可能にする。なぜなら、それらの評価はまさにこのシフトされ平均化された言葉で自然に述べられるからである。

残りの議論全体の形は次の通りである:この有界性の仮定は、$\mathbf{g}$ が(対数平均化されたエリオット予想を通じて)非常に特定的で硬直した構造を持つことを強制する;その硬直した構造は、明示的な構成によって、まさにその有界性の仮定自体と両立しないことが示される—矛盾である。