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解法: 対数平均化された相関によるタオのエルデシュ不一致問題の証明(2015年)

ステップ 9/9: 結論:仮定は不可能であり、エルデシュ不一致問題は解決された
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ざっくり言うと

推論の連鎖は完全に一周して閉じた:ある数列が有界な不一致を持つと仮定すると、段階を追って、ディリクレ指標に偽装せざるを得ない特定のランダム乗法的関数へと導かれ、まさにその偽装こそが、結局その不一致を非有界に増大させる原因となる—これは出発点の仮定と矛盾する。仮定が不可能である以上、すべての {−1,+1}\{-1,+1\} 値数列は、1930年代にエルデシュが予想した通り、無限の不一致を持たなければならない。

2015年9月に投稿され2016年にDiscrete Analysisに掲載されたタオの論文は、エルデシュ自身(1996年没)や、この問題に直接取り組んだ大規模なポリマス5共同研究よりも長く続いた問題を閉じた。これは、双子素数問題のようにまったく異なる目的のために元々構築された解析的数論の深い道具が、一見初等的な組合せ論の問いを解決しうることの、最も明快な実例の一つである。

∀f:N→{−1,+1}: sup⁡n,d∣∑j=1nf(jd)∣=∞\forall f:\mathbb{N}\to\{-1,+1\}: \ \sup_{n,d} \left|\sum_{j=1}^n f(jd)\right| = \infty
詳しい解説

ステップ4から8は合わせて背理法による証明を構成する:あるランダムな完全乗法的関数 g\mathbf{g} の部分和の二次モーメントが有界であると仮定する(ステップ4)と、対数平均化されたエリオット予想(ステップ5–6)を経て、g\mathbf{g} が捻られたディリクレ指標を装わなければならないという結論に至る(ステップ7)。しかしまさにその装いの構造こそが、一般化されたBorwein–Choi–Coons構成(ステップ8)によって検討すると、g\mathbf{g} の部分和を実際に log⁡n\log n 程度に非有界に増大させることを強いる—これは仮定と矛盾する。したがってそのような有界な g\mathbf{g} は存在せず、ステップ3の同値性により、元のエルデシュ不一致予想はすべての {−1,+1}\{-1,+1\} 値数列 ff について成り立つ(実際、タオの定理1.1が述べる通り、任意の実または複素ヒルベルト空間の単位球面に値をとるすべての数列についても成り立つ)。

この論文は2015年9月17日にarXivへ投稿され、2016年に創刊号の学術誌Discrete Analysis(DOI 10.19086/da.609)に掲載された。この学術誌は、質の高い組合せ論の論文をarXivオーバーレイ形式で出版するために特別に創設されたものである。タオは、鍵となる定理1.10を証明するために用いたエントロピー減少論法の発見が、まさにこの具体的な不一致問題を解こうとする試みから直接生まれたと述べており、具体的で述べやすい組合せ論的な挑戦が、解析的数論における真に新しい技法の動機となりうることを示している。

こうしてエルデシュ不一致問題は、述べるのは容易だが初等的な方法には抵抗し、一見かけ離れた数学の一角から機構を輸入することによって最終的にしか解決されなかった、そうした予想の短いリストに加わったのである。

このステップで使う知識
セメレディの定理