解法: 対数平均化された相関によるタオのエルデシュ不一致問題の証明(2015年)

エリオット予想は、その古典的な形において、有界な二つの乗法的関数 $g_1,g_2:\mathbb{N}\to\{z\in\mathbb{C}:|z|\le1\}$ に対して、相関 $\frac1x\sum_{n\le x}g_1(n)g_2(n+1)$ が $x\to\infty$ で $0$ に近づくと予測する。ただし、$g_1,g_2$ の一方が「装って」いる場合、すなわち正確な平均的意味で捻られたディリクレ指標 $n\mapsto \chi(n)n^{it}$ に近い場合を除く。この予想の(平均化されていない)無制限版は極めて困難であることが知られており、双子素数予想のような関連する問いへのほとんどの篩理論的アプローチを阻む、いわゆるパリティ問題によって阻まれている。

タオの鍵となる入力、不一致問題の論文における定理1.10(別個の姉妹論文「二点相関に対する対数平均化されたChowlaおよびEliott予想」、arXiv:1509.05422、2016年にForum of Mathematics, Piに掲載、で証明される)は、まさにこの主張の対数平均化された版を確立する:$g_1$ が適切な定量的意味で非装いであるとき、$\frac{1}{\log x}\sum_{n\le x}\frac{g_1(n)g_2(n+1)}{n} \to 0$ が $x\to\infty$ で成り立つ。追加の重み $1/n$ で平均化し、$x$ ではなく $\log x$ で正規化することが、パリティ問題を回避することにつながる。ただしその代償として、より弱い対数平均化された主張しか証明できない。

この定理を前段階の評価($g_1=g_2=\mathbf{g}$ とし、$\mathbf{g}(n)$ と $\mathbf{g}(n+1)$ を相関させる)に適用すると、$\mathbf{g}$ の部分和が有界であるという仮定された性質は、$\mathbf{g}$ 自身が装っている場合—すなわちある $n\mapsto\chi(n)n^{it}$ と強く相関している場合—にしか成り立たないことが示される。これが議論全体の要である:二次モーメントに関する解析的仮定が、$\mathbf{g}$ の構造に関する硬直した代数的・数論的主張へと変換されたのである。