解法: 対数平均化された相関によるタオのエルデシュ不一致問題の証明(2015年)

ステップ4のシフトされた二次モーメントの評価と定理1.10(ステップ5–6)を組み合わせて、タオは論文の4節(「一般化されたBorwein–Choi–Coons分析」)で、確率 $1-O(\varepsilon)$ で、周期 $\mathbf{q}=O_\varepsilon(1)$ のディリクレ指標 $\boldsymbol{\chi}$ と実数 $\mathbf{t}=O_{C,\varepsilon}(X)$が存在し、$\sum_{p\le X}\frac{1-\operatorname{Re}\,\mathbf{g}(p)\overline{\boldsymbol{\chi}(p)}p^{-i\mathbf{t}}}{p}\ll_\varepsilon 1$ となることを示す。これはまさに、素数における $\mathbf{g}$ の値が、平均的な意味で $\boldsymbol{\chi}(n)n^{i\mathbf{t}}$ の値と一致することを述べている。さらに慎重な議論(補題4.1、ディリクレ $L$ 関数のヴィノグラードフ–コロボフ零点自由領域を用いて、共によく適合する二つの大きく異なる候補値の $\mathbf{t}$ を排除する)により、$\mathbf{t}$ が小さい、$\mathbf{t}=O_{C,\varepsilon}(X)$ であり、この誤差の範囲で一意であることも確定する。

$\mathbf{q}$ を割り切る素数を除いて $\boldsymbol{\chi}$ と一致する明示的な完全乗法的関数 $\tilde{\boldsymbol{\chi}}$ を用いて $\mathbf{g}(n) = \tilde{\boldsymbol{\chi}}(n) n^{i\mathbf{t}} \mathbf{h}(n)$ と書くと、上の評価は $\left|\sum_{p\le X}\frac{1-\operatorname{Re}\,\mathbf{h}(p)}{p}\right|\ll_\varepsilon 1$ へと翻訳される:「誤差」因子 $\mathbf{h}$ 自体が定数関数 $1$ を装うことを強いられるのである。

残るのは、捻られたディリクレ指標をこれほど強く装う真に $\{-1,+1\}$ 値(あるいは単位円値)の完全乗法的関数が、結局のところ有界な二次モーメントを持つことはできないことを示すことである—これはまさに第二段階の惜しい反例を逆転させるものである。