解法: 対数平均化された相関によるタオのエルデシュ不一致問題の証明(2015年)
対数平均化されたエリオット予想自体が困難な定理であり、タオは2015年の別の論文で、古典的な解析的数論ではなく情報理論から借りた真に新しい技法を用いてこれを証明した。おおまかな発想:乗法的関数の値の「不確実性」(シャノンエントロピー)を、多数の異なる剰余類とスケールにわたって同時に考える。
もしタオが評価したい相関が小さくなかったなら、これは関数の多数の異なる断片が互いに予想外に多くの情報を持つこと—実質的にはひそかに独立ではなく従属していること—を強いることになる。しかしエントロピーはゼロという床に達するまでにしか何度も減少できない量である。タオは、この強いられた従属性が、長いスケールの列にわたってエントロピーを何度も繰り返し減少させてしまうことを示す。これは単純に許されない。この矛盾により、相関は結局のところ小さかったことになる。ただし論法が完全には抑え込めない一つの場合(装い)を除いて。
タオの姉妹論文「二点相関に対する対数平均化されたChowlaおよびElliott予想」(arXiv:1509.05422、Forum of Mathematics, Pi、2016年)は、彼がエントロピー減少論法と呼ぶものを用いて定理1.10を証明する。パリティの障害に直面する古典的な円周法や篩理論的操作の代わりに、この論法は、多くの互いに大きく離れたスケール周辺の短区間に制限された乗法的関数 の値から構成される離散確率変数のシャノンエントロピー を扱う。
技術的な核心: が適切に相関しないならば、(小さな素数における乗法性と、短区間における乗法的関数に関するMatomäki–Radziwiłłの定理を用いて)これらのエントロピーを測る確率変数のいくつかが、同種の典型的な確率変数と比べて互いについて有意に多くの情報を持つ(すなわち互いにより独立でなくなる)必要があることが示せる。シャノンエントロピーは で下に有界であり、長いスケールの連鎖を通過する間に減少できる回数は限られ制御可能である(各減少は定量的に評価される)ため、多数のスケールのすべてでこの情報量の多さを要求することは、 が真に非装いである場合、まったくの矛盾を生む。
この論法は明示的な収束速度を与えず、古典的な方法に抵抗してきた問題に対して「不合理なほど有効」であるとタオ自身によって有名に評されているが、解析的数論における重要な新しい道具として速やかに認識された。これは、エルデシュ不一致問題のこの解決だけでなく、その後のタオらによる高次相関に対する対数平均化されたChowla予想とSarnak予想に関する研究をも直接可能にした。
- シャノンエントロピー
- 情報理論における、確率変数がどれだけの不確実性や「驚き」を持つかを測る尺度。エントロピーは常に非負であり、変数が他の情報からより予測可能になると減少する。