解法: ペレルマンの手術付きリッチ流(2002–2003年)・要約版

Hamilton(1982年)は、閉多様体上のリーマン計量 $g_{ij}$ を $\partial_t g_{ij} = -2R_{ij}$ に従って発展させることを提案した。調和写像の熱方程式の解が生成する時間依存の微分同相による引き戻し(de Turck のトリック)の後、系は厳密に放物型となる — 主項は粗ラプラシアン $\Delta g_{ij}$ である — これにより閉多様体上で短時間存在と一意性が得られる。曲率量は反応–拡散方程式に従って発展し、スカラー曲率については $\partial_t R = \Delta R + 2|\operatorname{Ric}|^2$ なので、最大値原理により $\min_M R$ は流れに沿って単調非減少となる。

3次元では Hamilton は $\mathrm{Rm}$ の発展にテンソル最大値原理を適用し、リッチテンソルの正値性が保たれること、さらにトレースフリー部分が $R$ に対してピンチされること、すなわちある $\delta>0$ に対して $|\mathring{\operatorname{Ric}}| \le C R^{1-\delta}$ が成り立つことを証明した。したがってスカラー曲率が大きい領域は漸近的に丸くなり、Myers の直径評価と組み合わせると、$\operatorname{Ric}>0$ の3次元多様体上の体積正規化された流れはすべての時間に存在し、正の定数断面曲率を持つ計量に滑らかに収束する — ゆえに $M^3$ は丸い $S^3$ の商である。

Hamilton のプログラムは、任意の閉3次元多様体上の任意の計量に同じ流れを適用し、その長時間の振る舞いから Thurston の幾何学的分解を読み取るものであり、ポアンカレ予想は単連結な特別な場合である。障害は、一般の初期計量では $|\mathrm{Rm}|$ が良い極限に達する前に爆発しうることである。したがって流れが何に収束するかを理解するには、順番に、ブローアップ解析(次のステップ)、退化した極限を排除する機構、そして特異時刻を越えて流れを続ける方法が必要となる。