解法: ペレルマンの手術付きリッチ流(2002–2003年)・要約版

Hamilton(1982年)は任意のリーマン計量 $g_{ij}$ を3次元閉多様体 $M^3$ 上で方程式 $\partial_t g_{ij} = -2R_{ij}$ に従って発展させることを提案した。ここで $R_{ij}$ はリッチ曲率テンソルである。この流れのもとでスカラー曲率 $R$ は反応拡散方程式 $\partial_t R = \Delta R + 2|\operatorname{Ric}|^2$ を満たすため、最大値原理によりその最小値は時間に関して非減少である。

テンソルに対する最大値原理を用いて、Hamilton はこの流れが次元3でリッチテンソルの正値性を保つこと、そして $\operatorname{Ric} > 0$ が初期時刻で成り立つならば、(体積正規化した)流れは全時間存在して定正曲率の計量に滑らかに収束すること、したがって $M^3$ が丸い球面 $S^3$ の商であることを Hamilton は証明した。

Hamilton のプログラムは、この収束結果を任意の閉3次元多様体上の任意の初期計量に拡張することであり、それに得られうる結果の位相的分類を組み合わせれば、Thurston の幾何化予想、および単連結という特別な場合であるポアンカレ予想が証明されるはずだった。次のステップから扱う障害は、一般の計量に対しては、流れがそのような良い極限に達する前に有限時間で特異点を生じうるという点である。