解法: ペレルマンの手術付きリッチ流(2002–2003年)・要約版

$T_{\mathrm{ext}}$ から有限回の手術を逆にたどると、取り除かれた各高曲率断片は球面空間形 $S^3/\Gamma_i$、$S^2\times S^1$、または $\mathbb{RP}^3\,\#\,\mathbb{RP}^3$ に微分同相であり、$2$ 次元球面の手術を元に戻すことで $M^3$ はそれらの連結和として再構成される。

$\pi_1(M^3)=0$ のとき、van Kampen の定理によりすべての $\Gamma_i$ は自明とならざるを得ず(さもなければ $\pi_1$ が非自明な部分群を含むことになる)、また($\pi_1$ が無限である)$S^2\times S^1$ という因子も排除されるため、$S^3$ のコピーの連結和だけが残る。

丸い3次元球面どうしの連結和は $S^3$ に微分同相——したがって同相——であり、これによってあらゆる単連結閉3次元多様体が $S^3$ に同相であること、すなわちポアンカレ予想の証明が完結する。