解法: アーベル–ルフィニの定理とガロアの可解性判定条件(1824年)

$f(x)=x^5-4x+2$ を考える。素数 $p=2$ に対するアイゼンシュタインの既約判定法により(最高次係数 $1$ は $2$ で割り切れず、他のすべての係数 $0,0,0,-4,2$ は $2$ で割り切れ、定数項 $2$ は $2^2=4$ で割り切れない)、$f$ は $\mathbb{Q}$ 上既約であり、そのガロア群 $G$ は $5$ 個の根に推移的に作用するため、位数は $5$ で割り切れる。コーシーの定理により $G$ は $5$ 次巡回置換を含む。微積分によって実根が絞り込める:$f'(x)=5x^4-4$ はちょうど二つの実点でのみ零になるため、ロルの定理により $f$ の実根は多くとも $3$ 個であり、$f(-2)<0<f(0)$、$f(0)>0>f(1)$、$f(1)<0<f(2)$ を評価すると(中間値の定理により)少なくとも $3$ 個あることがわかる。したがって $f$ は実根をちょうど $3$ 個、複素共役の対を一組持つ。複素共役はその対だけを入れ替える体の自己同型であり、すなわち $G$ における互換である。初等群論のある定理は、$S_p$($p$ は素数)の部分群が $p$ 次巡回置換と互換の両方を含めば、それは $S_p$ 全体でなければならないと述べており、したがって $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})\cong S_5$ となる——これはまさに手順7で可解でないと示された群である——そしてガロアの判定条件(手順5)により、$x^5-4x+2=0$ はいかなるべき根の公式によっても解くことができない。