解法: メイナードの多次元篩法:素数の間の有界なギャップ(2013年)

ステップ 2/8: GPY篩:素数の出現を強制する重み付きカウント

ざっくり言うと

大きな範囲にある各整数 $n$ に非負の「重み」 $w_n$ を割り当てると考えよう。この重みは $n+h_1,\dots,n+h_k$ が小さな素因数をほとんど持たず、素数である見込みが高いときに大きくなる。もし $n+h_i$ のうち素数であるものの個数を巧妙に重み付けした和から目標値 $\rho$ を引いたものが全体として正になるなら、範囲内のある一つの $n$ が実際に $\rho$ を超える個数の素数を $n+h_1,\dots,n+h_k$ の中に与えているはずである。

Goldston、Pintz、Yıldırım はまさにこのような重みをメビウス関数 $\mu$ から、古典的なセルバーグ篩を模倣する形で構成し、得られる和を正の寄与が見つかるほど精密に評価する方法を示した。

S(N,\rho)=\sum_{N\le n<2N}\Big(\sum_{i=1}^{k}\chi_{\mathbb{P}}(n+h_i)-\rho\Big)w_n,\qquad w_n=\Big(\sum_{\substack{d\mid \prod_{i=1}^k(n+h_i)\\ d<R}}\mu(d)\big(\log R/d\big)^k\Big)^2

詳しい解説

固定した許容集合 $\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}$ 、非負の重み $w_n$ 、目標値 $\rho>0$ に対して、Maynard は $S(N,\rho)=\sum_{N\le n<2N}\big(\sum_{i=1}^k \chi_{\mathbb{P}}(n+h_i)-\rho\big)w_n$ を考える。ここで $\chi_{\mathbb{P}}$ は素数の指示関数である(Maynard 2013年、第2節、式2.1)。すべての大きな $N$ に対して $S(N,\rho)>0$ ならば、ある $n\in[N,2N)$ で $w_n>0$ かつ $n+h_1,\dots,n+h_k$ のうち少なくとも $\lfloor \rho+1\rfloor$ 個が素数である。 $w_n\ge0$ が常に成り立つので、重み付き和が正になる唯一の方法は、重みのある点で括弧の中が正になることだからである。

GPY の古典的な重みの選び方はセルバーグ型の平方 $w_n=\big(\sum_{d\mid \prod_i(n+h_i),\,d<R}\mu(d)(\log R/d)^k\big)^2$ であり、 $\mu$ はメビウス関数、 $R$ は約数の和がどこまで及ぶかを制御するパラメータである(Maynard 2013年、第2節、式2.2)。平方を取ることで $w_n\ge0$ が保証され、係数の具体的な選び方により、法が $R$ 程度までの等差数列における素数の分布がどれほど均等かさえ分かれば、標準的な篩の技法で $S(N,\rho)$ が計算可能になる。

この一次元的な処方により、GPY はギャップが無限回にわたり $\log p_n$ に対して消えていく割合であることを示せたが、文字通り有界ではなかった——重みは積全体 $\prod_i(n+h_i)$ の可除性を一つの塊として扱っており、これは硬直的すぎることが判明した。次のステップが Maynard による修正である。

このステップの用語

篩の重み: 範囲内の各整数 $n$ に付随する非負の数 $w_n$ であり、 $n+h_1,\dots,n+h_k$ が小さな素因数を持たず素数らしさを模倣するときに、 $n$ がカウント和に強く寄与するよう設計されている。
メビウス関数( $\mu$ ): $\mu(1)=1$ 、 $n$ が相異なる $r$ 個の素数の積であれば $\mu(n)=(-1)^r$ 、 $n$ が重複する素因数を持てば $\mu(n)=0$ となる数論的関数。包含と排除の原理により約数の和を篩の評価へと変換する古典的な道具である。