解法: メイナードの多次元篩法:素数の間の有界なギャップ(2013年)

Maynard の2013年の論文『Small gaps between primes』(arXiv:1311.4600、Annals of Mathematics 2015年)は、許容集合という概念から始まる:非負整数の有限集合 $\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}$ が許容的であるとは、すべての素数 $p$ に対してある剰余類 $a_p$ が存在し、どのシフトにも当たらないこと、すなわちすべての $i$ について $a_p\not\equiv h_i \pmod{p}$ となることをいう(Maynard 2013年、第1節)。素数 $k$ 組予想は、任意の許容的な $\mathcal{H}$ に対して、$n+h_1,\dots,n+h_k$ がすべて同時に素数となる $n$ が無限に存在すると予想する。$k>1$ の場合、これは完全に未解決である。

Goldston、Pintz、Yıldırım(GPY)は2005年、篩理論的な和がこの問題を制御することを示し、$\liminf_n (p_{n+1}-p_n)/\log p_n=0$ を無条件に証明した:無限回にわたりギャップは平均間隔 $\log p_n$ に対して消えていく割合であるが、文字通り有界ではない。Zhang の突破は、素数が等差数列にどれだけ均等に分布するかに関する技術的な壁を新しい評価によって突破し、初めて真に有界なギャップを得た(Maynard 2013年、第1節、式1.2)。

Maynard の論文は別の道を取る:Zhang の難しい新評価に追いつこうとする代わりに、篩そのものを改良し、より古い古典的な Bombieri–Vinogradov の定理だけで十分となるようにし、しかもはるかに良い上界を与える。残りのステップはその改良を順に追い、古典的な入力のみから $\liminf_n(p_{n+1}-p_n)\le 600$ に至る(Maynard 2013年、定理1.3)。