解法: メイナードの多次元篩法:素数の間の有界なギャップ(2013年)

Bombieri–Vinogradov の定理により、素数はすべての $\theta<1/2$ に対して分布のレベル $\theta$ を持つ(これは Zhang の仕事からの入力を一切必要としない古典的な結果である)。$k=105$ を取ると、命題4.3 から $M_{105}>4$ が得られ、Maynard は $\theta$ が $1/2$ に十分近ければ $\theta M_{105}/2 > 1$ となることを直接確認する。したがって $r_{105}=\lceil \theta M_{105}/2\rceil \ge 2$ である(Maynard 2013年、第4節、定理1.3の証明)。命題4.2(ステップ5)により、任意の許容的な $\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_{105}\}$ に対して、無限に多くの $n$ で $n+h_1,\dots,n+h_{105}$ のうち少なくとも $2$ 個が同時に素数となる。

残るは、直径が高々 $600$ の許容的な $105$ 元集合を一つ示すことだけである。そのような集合は直接的な有限探索(各小さな素数を法として一つの類を避けるように $105$ 個の剰余類を選ぶ)で見つかり、Maynard はそれが実際に存在することを確認している。そのシフトされた値のうち2個が無限回にわたり同時に素数であるということは、$|h_i-h_j|\le 600$ を満たす素数 $p_{n+h_i}, p_{n+h_j}$ の組が、連続する、あるいはそれに近い素数の中に無限回現れることを意味し、$\liminf_n(p_{n+1}-p_n)\le 600$ が得られる(Maynard 2013年、定理1.3)。

決定的に重要なのは、この議論が古典的な Bombieri–Vinogradov の定理を超えるいかなる評価も用いていないことである:これは Zhang の元々の $70{,}000{,}000$ を、純粋に古い技術だけを用いて改良するものであり、それを可能にしたのはひとえにステップ3〜6の多次元篩である。