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解法: メイナードの多次元篩法:素数の間の有界なギャップ(2013年)

ステップ 8/8: 対を超えて:任意個数の素数、そして246への道
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ざっくり言うと

105105 個のシフトの中で 22 個の素数を与えたのと同じ機構は、より大きな kk を用いれば、33、44、あるいは同時に任意の個数 mm の素数に対しても働く:MkM_k は少なくとも log⁡k\log k のように大きくなるので、kk を十分大きく選べば、任意の mm に対して常に mm 個の素数を有界な窓の中に強制的に押し込める。これが Maynard の論文の一般的な定理1.1である——任意個数の素数が、無限回にわたり寄り集まる。

具体的な定数 600600 が最適であると主張されたことは一度もない——Maynard 自身がそう明言している——そして実際、Polymath8b と呼ばれる大規模な共同研究が、数か月のうちに同じ方法の数値をさらに押し進め、上界を 246246 まで下げた。これは今日でも最良の無条件上界である。完全な双子素数予想(単なる有界な数ではなく上界 22)は未解決のままである。

lim inf⁡n→∞(pn+m−pn)≪m3e4m\liminf_{n\to\infty}(p_{n+m}-p_n) \ll m^3 e^{4m}
詳しい解説

大きな kk に対して Mk>log⁡k−2log⁡log⁡k−2M_k>\log k-2\log\log k-2 であり(ステップ6)、θ\theta は無条件に 1/21/2 に近く取れるため、閾値 rk=⌈θMk/2⌉r_k=\lceil\theta M_k/2\rceil は k→∞k\to\infty のとき 14log⁡k\tfrac14\log k のように大きくなる。目標とする mm に応じて適切に kk を選ぶことで、Maynard は定理1.1 を導く:すべての m∈Nm\in\mathbb{N} に対して、無条件に lim inf⁡n(pn+m−pn)≪m3e4m\liminf_n(p_{n+m}-p_n)\ll m^3 e^{4m}(Maynard 2013年、定理1.1)——すべての mm に対して、有界な窓の中に任意個数の素数が存在する。

Maynard は、600600(定理1.3)も m3e4mm^3e^{4m} という増大率(定理1.1)も最適であるとは主張していないことを明言している:「さらなる数値計算を行うことで、我々の方法はより良い上界を生み出せるだろう」(Maynard 2013年、第1節)。まさにそれが実際に起こった:Polymath8b プロジェクト(2014年)は、Maynard と Terence Tao がそれぞれ独立に発見した同じ方法のバージョンを組み合わせ、許容集合に対する広範なコンピュータ探索を行う大規模なオンライン共同研究であり、上界を lim inf⁡n(pn+1−pn)≤246\liminf_n(p_{n+1}-p_n)\le 246 にまで減らした。これは今日知られている最良の無条件上界である。

双子素数予想そのもの——上界を 22 までまるごと下げられるということ——は完全に未解決のままである。Maynard の方法は、Elliott–Halberstam 予想(Bombieri–Vinogradov を θ\theta が 11 に近いところまで強めた、未証明の予想)と組み合わせても、lim inf⁡n(pn+1−pn)≤12\liminf_n(p_{n+1}-p_n)\le 12(Maynard 2013年、定理1.4)までしか到達しない。残るギャップを 22 まで閉じるには、現在理解されている篩理論を超える根本的に新しいアイデアが必要となるだろう。

このステップの用語
Elliott–Halberstam 予想
Bombieri–Vinogradov の定理の未証明の強化版であり、素数がすべての θ<1/2\theta<1/2 だけでなくすべての θ<1\theta<1 に対して分布のレベル θ\theta を持つと予想する。篩の方法にとって自然な目標であるが、未解決のままである。
このステップで使う知識
素数間の有界なギャップ(張、メイナード)