解法: メイナードの多次元篩法:素数の間の有界なギャップ(2013年)

ステップ 4/8: 篩を二つの明示的な多重積分へ変換する

ざっくり言うと

重みが $k$ 変数の滑らかな関数 $F$ から構成されると、二つの主要な和——総重み $S_1$ と重み付き素数カウント $S_2$ ——は、標準的だが込み入った篩理論的な計算を経た後、本質的には単位立方体上の $F$ の二つの多重積分にすぎないものとなる:一つは $F$ の二乗の「大きさ」を測り、もう一つは $F$ が各座標方向にどれだけ寄与しているかを測る。

これこそが多次元的な設定の見返りである:もともと数論的で約数を数える問題が、 $F$ を自由に選び最適化できる通常の微積分へと変換されたのである。

I_k(F)=\int_0^1\!\cdots\!\int_0^1 F(t_1,\dots,t_k)^2\,dt_1\cdots dt_k,\qquad J_k^{(m)}(F)=\int_0^1\!\cdots\!\int_0^1\Big(\int_0^1 F\,dt_m\Big)^2 dt_1\cdots dt_{m-1}\,dt_{m+1}\cdots dt_k

詳しい解説

$S_1=\sum_n w_n$ および $S_2=\sum_n \big(\sum_i \chi_{\mathbb{P}}(n+h_i)\big)w_n$ とおく(小さな法 $W$ を法とする固定の剰余類に $n$ を制限する、小さな素数による障害を除くための定型的な工夫を伴う。Maynard 2013年、第4節、式4.2–4.3)。Maynard の命題4.1 は、集合 $\{(t_1,\dots,t_k): \textstyle\sum t_i\le 1\}$ 上に台を持つ滑らかな関数 $F$ から構成された $\lambda_{d_1,\dots,d_k}$ に対し、両方の和を漸近的に、二つの積分 $I_k(F)=\int_0^1\cdots\int_0^1 F(t_1,\dots,t_k)^2\,dt_1\cdots dt_k$ と $J_k^{(m)}(F)=\int_0^1\cdots\int_0^1\big(\int_0^1 F\,dt_m\big)^2 dt_1\cdots dt_{m-1}dt_{m+1}\cdots dt_k$ を用いて評価する(Maynard 2013年、第4節、命題4.1)。

具体的には、 $S_1\sim c_1 N(\log R)^k I_k(F)$ および $S_2\sim c_2 N(\log R)^{k+1}\sum_{m=1}^k J_k^{(m)}(F)/\log N$ が、 $\mathcal{H}$ と $W$ のみに依存する明示的な定数 $c_1,c_2>0$ について成り立つ。これは、素数が法が $N^\theta$ 程度までの等差数列にどれだけ均等に分布するかを定量的に述べる「分布のレベル」 $\theta>0$ を素数が持ち、かつ小さな $\delta>0$ に対して $R=N^{\theta/2-\delta}$ であるときに成り立つ。

これにより、篩理論的な問題全体が純粋な解析へと帰着される: $\mathcal{H}$ 、 $N$ 、 $R$ に関するすべてがこれらの定数にまとめられ、残された唯一の自由度は関数 $F$ の選び方であり、これを次のステップで最適化する。

このステップの用語

分布のレベル: $N$ までの素数が、平均して法が $N^\theta$ 程度までの等差数列に均等に分布しており、その誤差が $\log N$ のどのべきよりも小さいことが知られている数 $\theta>0$ 。古典的な Bombieri–Vinogradov の定理は $\theta$ をいくらでも $1/2$ に近く取れることを与える。