解法: メイナードの多次元篩法:素数の間の有界なギャップ(2013年)

固定した分布のレベル $\theta>0$ と小さな $\delta>0$ に対し、Maynard は $M_k=\sup_{F\in\mathcal{S}_k}\big(\sum_{m=1}^k J_k^{(m)}(F)\big)/I_k(F)$ を定義する。上限は適切な滑らかな関数 $F$ からなるクラス $\mathcal{S}_k$ 全体にわたって取られる(Maynard 2013年、第4節、命題4.2)。ステップ2のカウント和 $S=S_2-\rho S_1$ において $\rho=\theta M_k/2-\epsilon$ とおくと、ステップ4の漸近式を用いた簡単な計算から、すべての大きな $N$ に対して $S>0$ であることが分かる。したがって、ステップ2の論理により、無限に多くの $n$ に対して $n+h_1,\dots,n+h_k$ のうち少なくとも $r_k=\lceil \theta M_k/2\rceil$ 個が素数となる。

これが Maynard の命題4.2 であり、方法全体の核心である:長さ $k$ の許容的な $\mathcal{H}$ の中でサイズ $r_k$ の有界な素数ギャップは、その $k$ に対して比 $\big(\sum_m J_k^{(m)}(F)\big)/I_k(F)$ を十分大きくするような滑らかな $F$ を一つ示しさえすれば自動的に従う。特に $r_k\ge2$($k$ 個のシフトのうち2個以上が素数)は、それを実現する許容的な $k$ 組の直径そのものとして、$\liminf_n(p_{n+1}-p_n)$ の上界を直ちに与える。

こうして解析的整数論の問題全体は、適切な $k$ に対して十分良い $F$ を見つけよ、という問題に変換された。次のステップはまさにそれを、明示的な試験関数と数値的最適化によって与える。