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解法: メイナードの多次元篩法:素数の間の有界なギャップ(2013年)

ステップ 6/8: 数値を得る:M105>4M_{105}>4 を実現する FF を示す
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ざっくり言うと

抽象的な変分の上界 MkM_k は、誰かが具体的な候補関数 FF を代入し、時に実際の計算を伴って結果の比が大きいことを確かめて初めて役に立つ。Maynard は二つの重要な場合についてこれを行った:控えめな k=5k=5 と、はるかに大きな k=105k=105 である。

驚くべきことに、真の最適関数を推測しようとする代わりに kk 変数の低次多項式の積から FF を構成するだけで、既に M5M_5 を 22 以上に、M105M_{105} を 44 以上に押し上げることができる——これらの数値は、前のステップの機構に代入すれば、証明を完結させるのにちょうど十分な強さを持つ。

M5>2,M105>4M_5>2,\qquad M_{105}>4
詳しい解説

Maynard の命題4.3 は、多項式候補関数 FF を MkM_k の定義に当てはめて得られる二つの明示的な数値的事実を述べる:M5>2M_5>2、および M105>4M_{105}>4(Maynard 2013年、第4節、命題4.3、第1–2項)。どちらの数値も真の上限であると主張されているわけではない——これらは単に、具体的に書き下された FF を用いた(たとえ長くとも)直接計算によって得られた下界であり、次に来ることには十分である。

Maynard はまた、kk が大きい場合の漸近的な主張も証明している:十分大きな kk に対して Mk>log⁡k−2log⁡log⁡k−2M_k > \log k - 2\log\log k - 2(Maynard 2013年、第4節、命題4.3、第3項)であり、これは場当たり的な選択ではなくより体系的な試験関数の族から得られる。これこそが最終的に、有界な窓の中に任意個数の素数を与える定理1.1の一般的な上界を導くものである。

これらの数値的事実は、議論全体の中で唯一、純粋な構造的推論ではなく明示的な計算が実際の仕事をしている箇所である。証明の残りの部分はすべて「MkM_k が少なくともこれだけ大きければ……」という形をしている。最後のステップですべてを組み合わせる。