解法: メイナードの多次元篩法:素数の間の有界なギャップ(2013年)

Maynard の新しい重みは $w_n=\big(\sum_{d_i\mid n+h_i\,\forall i}\lambda_{d_1,\dots,d_k}\big)^2$ であり、各 $i$ について $d_i\mid n+h_i$ を満たす約数の $k$ 組 $(d_1,\dots,d_k)$ すべてにわたって和を取る(Maynard 2013年、第2節、式2.4)。一変数の係数であった GPY の $\lambda_d$ と異なり、新しい係数 $\lambda_{d_1,\dots,d_k}$ は真に $k$ 次元の配列である——それゆえ「多次元篩」と呼ばれる。

Maynard は、このアイデアが全く前例のないものではないと述べている(セルバーグは双子素数についてこれに似たものを提案しており、Goldston–Yıldırım も制限された版を試みていた)が、以前の試みは各 $d_i$ を $R^{1/k}$ 以下に制限しており、この制限が厳しすぎて利点を消してしまっていた。代わりに Maynard の選択は、係数をおおよそ $\lambda_{d_1,\dots,d_k}\approx\big(\prod_i \mu(d_i)\big) f(d_1,\dots,d_k)$ の形に、$k$ 個の実変数を持つ滑らかな関数 $f$ を用いて分解させ、各 $d_i$ は個別に $R$ まで動けるようにする(Maynard 2013年、第2節、式2.5)。

この多次元的な自由度こそが、以前の壁を取り除くものである:これらの重みから作られるカウント和は、$k$ 変数の任意の滑らかな関数 $F$ を用いて評価できるようになり(後述の命題4.1)、篩の設計を次のステップで活用する変分問題へと変える。