Tứ giác và đa giác

Ta không cần thêm một tiên đề hình học mới nào để đo các đa giác từ bốn cạnh trở lên: việc cắt hình dọc theo các đường chéo xuất phát từ một đỉnh đưa mọi đa giác về một tập hợp các tam giác mà mỗi tam giác đã có tổng ba góc bằng $180^\circ$.

Bước 1 (chia tứ giác theo một đường chéo). Trong tứ giác lồi $ABCD$, kẻ đường chéo $AC$. Vì hình lồi nên đoạn thẳng này nằm hoàn toàn bên trong tứ giác và chia nó thành hai tam giác $\triangle ABC$ và $\triangle ACD$.

Bước 2 (áp dụng tổng ba góc tam giác cho từng phần). Trong $\triangle ABC$ ta có $\angle BAC + \angle B + \angle BCA = 180^\circ$, và trong $\triangle ACD$ ta có $\angle CAD + \angle D + \angle DCA = 180^\circ$.

Bước 3 (cộng hai đẳng thức và tổng quát hóa). Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên cho $(\angle BAC + \angle CAD) + \angle B + (\angle BCA + \angle DCA) + \angle D = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$. Vì các góc kề nhau ở hai đầu đường chéo ghép lại thành góc đầy đủ ở đỉnh $\angle BAC + \angle CAD = \angle A$ và $\angle BCA + \angle DCA = \angle C$, biểu thức rút gọn trực tiếp thành $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. Đối với đa giác lồi có $n$ đỉnh, kẻ tất cả $n - 3$ đường chéo từ một đỉnh chia miền trong thành $n - 2$ tam giác có tổng các góc bằng $(n - 2) \cdot 180^\circ$.

Sự tương đương này biến một mệnh đề về phương song song (đòi hỏi phải đo góc hoặc hệ số góc) thành một mệnh đề về trung điểm (chỉ cần kiểm tra độ dài bằng nhau trên hai đường chéo).

Bước 1 (hình bình hành suy ra đường chéo cắt nhau tại trung điểm). Giả sử $ABCD$ là hình bình hành. Vì các cạnh đối song song và bằng nhau, ta có $AB = CD$, đồng thời các góc so le trong tạo bởi hai đường chéo thỏa mãn $\angle OAB = \angle OCD$ và $\angle OBA = \angle ODC$. Theo trường hợp bằng nhau Góc-Cạnh-Góc, $\triangle AOB \cong \triangle COD$, nên các cạnh tương ứng cho $OA = OC$ và $OB = OD$.

Bước 2 (đường chéo cắt nhau tại trung điểm suy ra các tam giác đối bằng nhau). Ngược lại, giả sử $OA = OC$ và $OB = OD$. Vì hai góc đối đỉnh tại giao điểm bằng nhau ($\angle AOB = \angle COD$), trường hợp Cạnh-Góc-Cạnh cho $\triangle AOB \cong \triangle COD$, suy ra $\angle OAB = \angle OCD$. Bằng đúng lập luận Cạnh-Góc-Cạnh đó cho cặp góc đối đỉnh còn lại ($\angle AOD = \angle COB$), ta thu được $\triangle AOD \cong \triangle COB$, suy ra $\angle OAD = \angle OCB$.

Bước 3 (góc so le trong bằng nhau buộc các cạnh đối song song). Hai đẳng thức $\angle OAB = \angle OCD$ và $\angle OAD = \angle OCB$ khẳng định các cặp góc so le trong tạo bởi cát tuyến đường chéo với cả hai cặp cạnh đối đều bằng nhau, buộc $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$. Vậy $ABCD$ là hình bình hành.