四边形与多边形

测量四条边及以上的多边形并不需要新的几何公理：从一个顶点出发沿对角线将图形切开，就能把任何多边形归结为若干个三角形的组合，而每个三角形的内角和已知都是 $180^\circ$。

第一步（沿一条对角线分割四边形）。在凸四边形 $ABCD$ 中连接对角线 $AC$。由于图形是凸的，该线段完全位于四边形内部，并将其划分为两个三角形 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ACD$。

第二步（对每一部分应用三角形内角和）。在 $\triangle ABC$ 中有 $\angle BAC + \angle B + \angle BCA = 180^\circ$，而在 $\triangle ACD$ 中有 $\angle CAD + \angle D + \angle DCA = 180^\circ$。

第三步（将两式相加并推广）。将上述两式相加得 $(\angle BAC + \angle CAD) + \angle B + (\angle BCA + \angle DCA) + \angle D = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$。由于对角线两端相邻的角重新合并为完整的顶角 $\angle BAC + \angle CAD = \angle A$ 与 $\angle BCA + \angle DCA = \angle C$，上式直接化简为 $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$。对于具有 $n$ 个顶点的凸多边形，从一个顶点引出全部 $n - 3$ 条对角线可将内部切分为 $n - 2$ 个三角形，它们的内角总和即为 $(n - 2) \cdot 180^\circ$。

这一等价关系把关于平行方向的命题（需要测量角度或斜率）转化为关于中点的命题（只需沿着两条对角线检验长度是否相等）。

第一步（平行四边形推出对角线互相平分）。设 $ABCD$ 是平行四边形。因为对边平行且相等，故有 $AB = CD$，且两条对角线所截得的内错角满足 $\angle OAB = \angle OCD$ 与 $\angle OBA = \angle ODC$。由角边角（ASA）全等判定得 $\triangle AOB \cong \triangle COD$，故对应边相等给出 $OA = OC$ 与 $OB = OD$。

第二步（对角线互相平分推出相对的三角形全等）。反过来，设 $OA = OC$ 且 $OB = OD$。因为交点处的对顶角相等（$\angle AOB = \angle COD$），由边角边（SAS）全等判定可得 $\triangle AOB \cong \triangle COD$，从而得出 $\angle OAB = \angle OCD$。对另一组对顶角（$\angle AOD = \angle COB$）应用完全相同的边角边论证，可得 $\triangle AOD \cong \triangle COB$，从而得出 $\angle OAD = \angle OCB$。

第三步（内错角相等迫使对边平行）。等式 $\angle OAB = \angle OCD$ 与 $\angle OAD = \angle OCB$ 表明对角线截两组对边所得的内错角分别相等，这迫使 $AB \parallel CD$ 且 $AD \parallel BC$。因此 $ABCD$ 是平行四边形。