Lời giải: Chứng minh của Euler bằng công thức tích cho hàm sin (1734–1735)

Bài toán Basel đòi dạng đóng của $\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$, do Pietro Mengoli đặt ra năm 1644 và từng được cả nhà Bernoulli lẫn Leibniz tấn công bất thành. Sự hội tụ không bao giờ là nghi vấn — chuỗi bị chặn trên bởi $\int_1^{\infty}dx/x^2$, và đến thời Euler người ta đã biết khoảng sáu chữ số đúng — nhưng một biểu thức đúng vẫn chống lại mọi cách tiếp cận.

Chiến lược của Euler, được kể lại từng bước trong phần trình bày của Dunham (Ch. 3 của tài liệu nguồn), là thu được hai mô tả đại số khác nhau của cùng một hàm $\frac{\sin x}{x}$: chuỗi Maclaurin của nó (Bước 2) và một tích vô hạn dựng từ các không điểm (Bước 3). Khi cả hai khai triển đã có trên bàn, việc cho chúng bằng nhau từng hệ số sẽ biến thông tin về các không điểm của $\sin x$ — thuần túy hình học — thành thông tin số học về $\zeta(2)$.

Việc chọn $\sin x$ là hành động sáng tạo: đó là hàm nguyên đơn giản nhất có các không điểm tạo thành một họ dàn đều, hai phía vô hạn $0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots$, đúng kiểu dữ liệu cần cho một tích mà hệ số của $x^2$ là một chuỗi nghịch đảo các bình phương.