解法: サイン関数の無限乗積公式によるオイラーの証明(1734–1735)

バーゼル問題は、1644年にピエトロ・メンゴリが提起し、ベルヌーイ一族やライプニッツが挑んで敗れた、$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ の閉じた形を求める問題である。収束することは全く問題でなかった——この級数は $\int_1^{\infty}dx/x^2$ で上から抑えられ、オイラーの時代にはおよそ6桁の正しい小数値が知られていた——が、厳密な式はあらゆる試みを退けた。

オイラーの戦略は、典拠であるダナムの記述（第3章）で一歩ずつ再現されているように、同じ関数 $\frac{\sin x}{x}$ の二つの異なる代数的記述を得ることである。すなわちマクローリン級数（手順2）と、その零点から作られる無限乗積（手順3）である。二つの展開がそろったら、係数を項ごとに一致させることで、$\sin x$ の零点に関する純粋に幾何的な情報が $\zeta(2)$ に関する算術的な情報へ変換される。

$\sin x$ を選んだことが創造的な一手である。これは零点が明示的で等間隔な、両側無限の族 $0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots$ をなす最も単純な整関数であり、その $x^2$ の係数が平方逆数の級数となるような積を作るのにちょうどよい種類のデータだからである。