解法: 対数平均化された相関によるタオのエルデシュ不一致問題の証明(2015年)

関数 $f:\mathbb{N}\to\{-1,+1\}$ に対して、その不一致を $\sup_{n,d\in\mathbb{N}}\left|\sum_{j=1}^n f(jd)\right|$ と定義する。これは同次等差数列 $d,2d,\ldots,nd$ に制限した $f$ の部分和が取りうる絶対値の最大値である。ポール・エルデシュは1930年代に、この不一致は常に無限大である、すなわちすべての $f$ とすべての定数 $C$ に対して、ある $n,d$ が $\left|\sum_{j=1}^n f(jd)\right| > C$ を満たすと予想した。

この問題は80年以上証明されず、(ティモシー・ガワーズが発起した)2010年のポリマス5共同プロジェクトの対象となり、いくつかの部分的結果や同値な言い換えが確立されたが、予想全体の証明には至らなかった。テレンス・タオは2015年にこの結果を全面的に証明し(2016年にDiscrete Analysisに掲載)、実際には $f$ が $\{-1,+1\}$ だけでなく任意の実または複素ヒルベルト空間の単位球面に値をとる、より一般的なベクトル値の主張に対して証明した。

この証明の残りの部分は、タオの論文の要旨で述べられた三部構成の戦略に従う:(ポリマス5プロジェクトによる)完全乗法的関数へのフーリエ解析的な還元、相関に関するエリオット予想の対数平均化された形(タオ自身の別の2015年の結果)、そして残る一つの場合を排除する最後の論証(これもポリマス5からのアイデアを拡張したもの)である。