Lời giải: Định lý Abel–Ruffini và tiêu chuẩn giải được của Galois (1824)

Bước 1 trên 8: Tháp căn thức hình thức hóa khái niệm 'giải được bằng căn thức'

Hiểu nôm na

Một công thức căn thức, như công thức nghiệm bậc hai $x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/2a$ , thực chất chỉ là một công thức gồm hữu hạn phép cộng, nhân, chia và khai căn áp dụng lên các hệ số. Viết công thức đó ra thành một dãy các trường — bắt đầu từ $\mathbb{Q}$ , mỗi lần ghép thêm một căn thức mới — biến một hy vọng mơ hồ ("có công thức hay không?") thành một đối tượng toán học chính xác có thể nghiên cứu được.

\mathbb{Q} = K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_r, \quad K_i = K_{i-1}(\sqrt[n_i]{a_i})

Phân tích chi tiết

Một phương trình đa thức $f(x)=0$ giải được bằng căn thức khi các nghiệm của nó nằm trong một trường $K_r$ thu được từ $\mathbb{Q}$ qua một dãy hữu hạn các mở rộng căn thức $K_i = K_{i-1}(\sqrt[n_i]{a_i})$ , mỗi bước ghép thêm căn bậc $n_i$ của một phần tử đã có trong $K_{i-1}$ .

Thuật ngữ trong bước này

Trường: Một tập hợp số, chẳng hạn $\mathbb{Q}$ hay $\mathbb{R}$ , đóng kín với phép cộng, trừ, nhân và chia cho bất kỳ phần tử khác không nào.
Mở rộng trường: Một trường $L$ chứa một trường nhỏ hơn $K$ , viết là $L/K$ ; các phần tử mới được dựng từ $K$ bằng cách ghép thêm những số khác, chẳng hạn các căn.
Mở rộng căn thức: Một bước mở rộng trường $K_{i-1}(\sqrt[n]{a})$ được tạo bằng cách ghép thêm một căn bậc $n$ của một phần tử $a$ đã có sẵn trong $K_{i-1}$ .

Kiến thức dùng ở bước này

Lý thuyết Galois Lý thuyết nhóm