解法：Beukers–Calabi–Kolk 的二重积分证明(1993年)

第 5/6 步：积分等于一个三角形的面积

通俗地说

一旦那个棘手的分母被抵消,剩下要积分的就只是常数函数 $1$ ——而对某个区域积分 $1$ ,不过是求该区域面积的一种绕弯说法,对直角三角形而言就是两条直角边之积的一半。

\int_0^1\!\!\int_0^1 \frac{dx\,dy}{1-x^2y^2}=\iint_{\Delta} du\,dv=\operatorname{Area}(\Delta)=\frac12\left(\frac{\pi}{2}\right)^2=\frac{\pi^2}{8}

详细分析

经过替换后,被积函数恒等于 $1$ ,因此二重积分就是 $\Delta$ 的面积:一个两条直角边都等于 $\pi/2$ 的直角三角形。

本步骤用到的知识