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解法：Beukers–Calabi–Kolk 的二重积分证明(1993年)

第 2/6 步：把奇数平方之和写成二重积分
上一步下一步
通俗地说

表达式 11−t\frac{1}{1-t} 是一个不断自我叠加的几何级数 1+t+t2+⋯1+t+t^2+\cdots 的和;令 t=x2y2t=x^2y^2,再对单位正方形上的每个幂次分别积分,就把一个代数式的和变成了一叠普通微积分意义下的积分,每项一个,而它们重新组合起来正好就是第1步中奇数平方之和。

∫01 ⁣ ⁣∫01dx dy1−x2y2=∑k=0∞(∫01x2kdx)(∫01y2kdy)=∑k=0∞1(2k+1)2\int_0^1\!\!\int_0^1 \frac{dx\,dy}{1-x^2y^2}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\int_0^1 x^{2k}dx\right)\left(\int_0^1 y^{2k}dy\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}
单位正方形上的抛物面,用以说明二重积分是曲面下方的体积(实际被积函数 1/(1−x2y2)1/(1-x^2y^2) 只在角点 (1,1)(1,1) 处发散)
单位正方形 [0,1]×[0,1] 上一般抛物面 z = x² + y² 的三维图,这里仅用来说明二重积分计算曲面下体积这一一般思想。本证明中实际的被积函数 1/(1−x²y²) 在正方形内除角点 (1,1) 外处处有限,仅在该点轻微发散。
详细分析

把 1/(1−x2y2)1/(1-x^2y^2) 按 (xy)2(xy)^2 展开成几何级数,并在单位正方形上逐项积分;由于每一项都是正的,交换无穷和与积分的顺序是合法的。结果恰好就是第1步中奇数平方之和。

本步骤中的术语
几何级数
形如 1+t+t2+t3+⋯1+t+t^2+t^3+\cdots 的级数;当 ∣t∣<1|t|<1 时,它收敛于 11−t\frac{1}{1-t}。
反常积分
被积函数在积分区域内某处(这里是角点 (1,1)(1,1) 附近)无界的积分,因此需定义为极限而非普通的黎曼和。
本步骤用到的知识
重积分幂级数与泰勒级数
常见错误. 被积函数在角点 (1,1)(1,1) 附近无界;此积分须理解为反常积分,应当验证其收敛性(每一项 ∫01x2kdx∫01y2kdy=1/(2k+1)2\int_0^1x^{2k}dx\int_0^1y^{2k}dy=1/(2k+1)^2 都是有限的,所得级数也收敛),而不能想当然地假设。