解法：Beukers–Calabi–Kolk 的二重积分证明(1993年)

第 4/6 步：雅可比行列式恰好抵消分母

通俗地说

变量替换总会按一个称为雅可比行列式的局部缩放因子伸缩面积;这里经过一小段三角函数计算后,这个因子恰好等于最初带来整个问题的那个麻烦分母 $1-x^2y^2$ ,于是完美地把它抵消掉,什么也不剩。

\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=1-\frac{\sin^2u\sin^2v}{\cos^2u\cos^2v}=1-x^2y^2

详细分析

直接计算四个偏导数以及 2×2 行列式,恰好得到 $1-x^2y^2$ ——正是积分中分母的那个表达式。于是 $dx\,dy/(1-x^2y^2)=du\,dv$ ,不再留下任何多余的因子。

本步骤中的术语

本步骤用到的知识

常见错误. 很容易只满足于“雅可比行列式非零”就继续下去,但一个有效的变量替换还需要该映射在开正方形上是一一对应的——这是一个独立的事实(在此确实成立),仅凭这个计算本身并不能证明它。