解法：Beukers–Calabi–Kolk 的二重积分证明(1993年)

第 3/6 步：Beukers–Calabi–Kolk 变量替换

通俗地说

两个辅助角 $u$ 与 $v$ 就像老式收音机上的旋钮:转动它们会把三角形区域 $\Delta$ 中的每一点恰好扫过一次,而正弦、余弦的组合经过精心设计,使得单位正方形的各个角——包括被积函数发散的那个棘手的角——恰好落在这个三角形的顶点上。

x=\frac{\sin u}{\cos v},\quad y=\frac{\sin v}{\cos u},\qquad (u,v)\in\Delta=\Big\{u,v>0,\ u+v<\frac{\pi}{2}\Big\}

单位圆上某角的正弦与余弦——该替换的两个基本组成部分

详细分析

这个替换把 $u=0$ 映为 $x=0$ ,把 $v=0$ 映为 $y=0$ ,而较远的一边 $u+v=\pi/2$ 对应于 $x=1$ 或 $y=1$ ——因此它把开的单位正方形恰好映成两条直角边长为 $\pi/2$ 的开三角形 $\Delta$ 。

本步骤中的术语

本步骤用到的知识